関数を定積分した値に絶対値とる か 関数の絶対値をとってから定積分する場合 値が異なるとこはあります

関数を定積分した値に絶対値とる か 関数の絶対値をとってから定積分する場合 値が異なるとこはありますか？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/09 13:49

実関数 f(x) に対して

F(x) = { ｜f(x)｜ + f(x) }/2,
G(x) = { ｜f(x)｜ - f(x) }/2
と置くと、
f(x) = F(x) - G(x),
｜f(x)｜ = F(x) + G(x),
F(x) ≧ 0, G(x) ≧ 0
が成り立ちます。
F(x), G(x) のことを、それぞれ
f(x) の 正部分, 負部分といいます。
F(x) = Pos f(x),
G(x) = Neg f(x)
と書くこともあります。

これを使って
∫[0,t] f(u) du = ∫[0,t]{ F(u) - G(u) }du
　　　　　　　= ∫[0,t] F(u) du - ∫[0,t] G(u) du,
∫[0,t] ｜f(u)｜du = ∫[0,t]{ F(u) + G(u) }du
　　　　　　　= ∫[0,t] F(u) du + ∫[0,t] G(u) du
と書けますから、
写真の式 ｜∫[0,t] f(u) du｜ ≦ ∫[0,t] ｜f(u)｜du は
｜∫[0,t] F(u) du - ∫[0,t] G(u) du｜ ≦ ∫[0,t] F(u) du + ∫[0,t] G(u) du
を意味しています。

P = ∫[0,t] F(u) du,
N = ∫[0,t] G(u) du
と置くと更に見やすいかな？
F(x) ≧ 0, G(x) ≧ 0 より P ≧ 0, N ≧ 0 であり、
示すべき式は ｜P - N｜ ≦ P + N です。
これは、いわゆる「三角不等式」ですね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/09 10:11

f(u)=2u-t

とすると

∫[0～t]f(u)du
=∫[0～t](2u-t)du
=[u^2-tu][0～t]
=t^2-t^2
=0

∫[0～t]|f(u)|du
=∫[0～t]|2u-t|du
=∫[0～t/2](t-2u)du+∫[t/2～t](2u-t)du
=[tu-u^2][0～t/2]+[u^2-tu][t/2～t]
=t^2/2-t^2/4-t^2/4+t^2/2
=t^2/2

t≠0のとき

|∫[0～t](2u-t)du|=0<t^2/2=∫[0～t]|2u-t|du

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/09/09 09:01

ありますよ

縦軸にf(u)、横軸にuを取ってグラフを書いてみます
定積分は、グラフの横軸より上部分の面積は正、下部分の面積は負と言う結果を返してくるのだから
グラフが横軸をまたぐような場合
そのまま積分すると
計算結果はプラスの値とマイナスの値の和と言う事になります…①
一方、はじめに│f(u)│としてからの定積分では、グラフ全体が横軸より上となるので計算結果はプラスの値だけの和となります…②
①と②は絶対値が異なるので
①に更に絶対値記号を付ける(│∫f(u)du│)としても、やはり②よりは、値が小さくなるケースが生じます

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/09 08:51

f が正負の値を取り得る範囲(符号が途中で変わる範囲)では必ず異なります。

No.2 回答者： neKo_deux 回答日時： 2024/09/09 07:44

sin(x)を0から2πとか、y=x-1を0から2まで積分とか、正負が打ち消し合う場合を考察すると、値が異なることはある。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/09/09 07:40

当然。

両者が同じになるのは、0＜u＜tの範囲でf(u)の符号が変わらない場合だけ。f(u) = u - 1 とか f(u) = sin(u) でやってみれば？