この数学の問題解き方あってるか見てほしいです

問.aを正の実数とする。全ての自然数nについて、√{n(n+1)}<n+aが成立するようなaの値の範囲を求めよ

私の答え
両辺を二乗して整理すると
a^2+2na-n>0
となる。
y=a^2+2na-n↔︎y=(2a-1)n+a^2について、n>0の範囲でy>0となるには(2a-1)>=0でなければならない
これを解いて、a>=1/2

あってますか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/11 22:50

答えの値はあってるけど、

「解き方」はダメだろそれじゃ。

まず「二乗して整理すると」のところで
√{n(n+1)}<n+a ⇔ a^2+2na-n>0 かどうかに言及してないから、
両辺二乗したなら必要変形したことになる。

その後「y>0となるには(2a-1)>=0でなければならない」という箇所も、
(2a-1)n+a^2 ∧ n>0 ⇒ (2a-1)≧0 と必要変形した表現になってる。

同値変形じゃなく必要変形で導いたものは、答えじゃなく
答えの候補にすぎないので、最後に十分性の確認が必要だが、
君の答案には、それがない。

採点基準にもよるけど、部分点は半分くらいかな？

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/11 21:00

「自然数」とはなにか, って問題はあると思うんだ.

途中「n>0の範囲でy>0となるには」ってあるんだけど, 本当に「n>0」の条件が必要? それとも「n≧1」でいい?

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/11 15:51

あってるけど、ただ2乗する前後で同値関係が成立っている

確認はしておいてくださいね。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/11 15:23

あってます

a>0
全ての自然数nについて、
√{n(n+1)}<n+a
↓↑
n(n+1)<(n+a)^2
n^2+n<n^2+2an+a^2
a^2+2na-n>0
a^2+n(2a-1)>0

a≧1/2
とすると
a^2≧1/4
2a-1≧0
n(2a-1)≧0
だから
a^2+n(2a-1)≧1/4>0
だから
a≧1/2→a^2+n(2a-1)>0
が成り立つ

a^2+n(2a-1)>0
とすると
a<1/2と仮定すると
1-2a>0だから
a^2/(1-2a)<nとなる自然数nがある
↓両辺に1-2a>0をかけると
a^2<n(1-2a)
↓両辺にn(2a-1)を加えると
a^2+n(2a-1)<0
となってa^2+n(2a-1)>0に矛盾するから
a≧1/2
だから
a^2+n(2a-1)>0→a≧1/2
が成り立つから
a^2+n(2a-1)>0↔︎a≧1/2
が成り立つから
∴
a≧1/2