これなぜ収束を前提とするのでしょうか。収束しないときにシグマを分けるのはだめな理由はなんでしょうか

これなぜ収束を前提とするのでしょうか。収束しないときにシグマを分けるのはだめな理由はなんでしょうか

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/24 08:22

収束しないときにシグマを分けても、両辺が収束しないので

式を意味を持たないからです。

Σ(s an + t bn) = sΣan + tΣbn という公式を見るとき
式だけ見ているとピンとこないかもしれませんが、
定理としては、『Σan と Σbn が収束するとき
Σ(s an + t bn) も収束して』この式が成り立つ です。
この『 』の部分が重要で、Σ(s an + t bn) が計算できる
ことが保証されるのです。

収束性を確認せずに式だけズラズラ計算しても、意味がありません。
0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 ？
とか、有名ですよね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/23 20:56

Σ[n=1～∞](2-1)≠Σ[n=1～∞]2-Σ[n=1～∞]1

だからダメ

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/23 20:38

以下の例 (なお s=t=1 とする) を考えてみよう:

・a[n] = n, b[n] = -n
・a[n] = n, b[n] = -n+1
・a[n] = n, b[1] = 0 かつ b[n] = -n (n≧2)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/23 20:02

例えば ∞-∞ が定義されていないから.

この回答へのお礼

よくわかんないです詳しく教えてくださるとありがたいです

お礼日時：2024/09/23 20:04