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x>0,y>0 のとき
x^x+y^y≧x^y+y^x
は成り立ちますか?
f(x,y)=x^x+y^y-x^y-y^x
とすると
x≧1≧y>0のとき
x^{x-y}≧1≧y^{x-y}
だから
f(x,y)=x^y(x^{x-y}-1)+y^y(1-y^{x-y})≧0
だから成り立つ
xとyを入れ替えれば
y≧1≧x>0のとき同様に成り立つ
x≧y≧1 のとき
x^{x-y+1}≧y
x^x≧y^x
logx≧logy≧0
だからf(x,y)のxによる偏微分
fx(x,y)=x^{y-1}(x^{x-y+1}-y)+(x^x-y^x)logx+y^x(logx-logy)≧0
だから
f(x,y)≧f(y,y)=0
だから成り立つ
xとyを入れ替えれば
y≧x≧1のとき同様に成り立つ
と考えたのだけれども
1≧x≧y>0
または
0<x≦y≦1
の
ときは?
No.6ベストアンサー
- 回答日時：
変形して
(x^y)^(x/y)-(y^y)^(x/y)≧x^y-y^y
を示すらしい。
f(t)=t^(x/y)は下に凸なので
f(x^y)-f(y^y)≧f'(y^y)(x^y-y^y)
が成り立つから
f'(y^y)≧1
を示せばいいらしい。
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回答ありがとうございます
x^x=(x^y)^(x/y)
y^x=(y^y)^(x/y)
だから
f(t)=t^(x/y) とすると
x^x-y^x
=(x^y)^(x/y)-(y^y)^(x/y)
=f(x^y)-f(y^y)
x>yのとき
平均値の定理から
(x^x-y^x)/(x^y-y^y)
={f(x^y)-f(y^y)}/(x^y-y^y)
=f'(t)
y^y<t<x^y
となるtがある
{f'(t)-f'(y^y)}/(t-y^y)=f"(u)=(x/y)(x/y-1)u^(x/y-2)>0
y^y<u<t
となるuがあるから
(x^x-y^x)/(x^y-y^y)=f'(t)>f'(y^y)
が成り立つから
f'(y^y)>1を示せばよいとわかりましたが
f'(y^y)
=(x/y)(y^y)^(x/y-1)
=(x/y)(y^{x-y})
(x/y)>1 だけれども y^{x-y}<1 だからy^{x-y}>1はいえない
f'(y^y)
=(x/y)(y^{x-y})
=x(1/y)^{1+y-x}
(1/y)^{1+y-x}>1/x がいえればf'(y^y)>1がいえるのだけれども…
わかりません
No.9
- 回答日時：
y^(1-x+y)=(1+(y-1))^(1-x+y)
としてベルヌーイの不等式を使うらしい。
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回答ありがとうございます
x(1+y-x)-y
=x+x(y-x)-y
=x-y-x(x-y)
=(1-x)(x-y)
≧0
だから
x(1+y-x)≧y
1+y-x≧y/x
だから
(1/y)^(1+y-x)
≧(1/y)^(y/x)
=(1+1/y-1)^(y/x)
↓ベルヌーイの不等式から
≧1+(1/y-1)(y/x)
=1+1/x-y/x
=1/x+1-y/x
=1/x+(x-y)/x
>1/x
∴
x(1/y)^(1+y-x)≧1
f'(y^y)=x(1/y)^(1+y-x)≧1
x^x-y^x≧f(y^y)(x^y-y^y)≧x^y-y^y
x^x-y^x≧x^y-y^y
∴
x^x+y^y≧x^y+y^x
と
わかりました
No.7
- 回答日時：
No.5へのコメントについて。
どうも趣旨がご理解いただけなかったようで。p, qはx,yとは無関係で単に1≧p≧q≧0, 1≧x≧y≧0 という話に一般化した方がスッキリするよ、ということなんですけどね。
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No.4
- 回答日時：
調べたら成り立つらしい。
1>x≧y>0の部分は少しややこしいらしい。
あなたが考えたx≧1かつx≧yの部分は
x^(x-y)≧y^(x-y)⇒y^y≧x^y y^x/x^x
として
x^x+y^y-x^y-y^x
≧x^x+x^y y^x/x^x-x^y-y^x
=…
とするだけらしい。
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回答ありがとうございます
x≧1 かつ x≧y のとき
x^(x-y)≧y^(x-y)
↓
(x^x)/(x^y)≧(y^x)/(y^y)
(y^y)(x^x)≧(x^y)(y^x)
y^y≧(x^y)(y^x)/x^x
x^x+y^y-x^y-y^x
≧x^x+(x^y)(y^x)/(x^x)-x^y-y^x
={x^(2x)+(x^y)(y^x)-(x^x)(x^y)-(x^x)(y^x)}/(x^x)
={x^(2x)-(x^x)(y^x)-(x^x)(x^y)+(x^y)(y^x)}/(x^x)
={(x^x)(x^x-y^x)-(x^x-y^x)(x^y)}/(x^x)
=(x^x-x^y)(x^x-y^x)/(x^x)
↓x^x≧x^y,x^x≧y^xだから
≧0
とすればよいとわかりました
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成り立つなら証明してください
x^x+y^y-x^y-y^x
=x^x-x^y+y^y-y^x
にはなるけれども
x^x-x^y ≠ (x^x)/(x^y)=x^(x-y)
y^y-y^x ≠ (y^y)/(y^x)=y^(y-x)
だから
x^x+y^y-x^y-y^x ≠ x^(x-y)+y^(y-x)
間違っている
x=1/2
y=1/3
のとき
p=(1/2+1/3)/2=5/12
q=(1/2-1/3)/2=1/12
x^x-x^y=1/2^(1/2)-1/2^(1/3)<0
x^q-1/x^q=1/2^(1/12)-2^(1/12)<0
y^q-1/y^q=1/3^(1/12)-3^(1/12)<0
は
負になるのでよいとは思えません
1≧x≧y のときの証明がわかりません