二次不等式、判別式の利用

二次不等式での計算で判別式を使うときと使わないときの違いがわかりません。あと「すべての実数」「a以外のすべての実数」「解なし」「x=a」とはどういうときに使うのでしょうか。
たとえば、３x次条ー7x＋2≦０のときの答えは3/1≦x≦2でいいのにもかかわらずx次条ーxー2＜0となったときの答えが「解なし」なんです。なんで3/1≦x≦2と似たように答えないのかも教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： redpolo 回答日時： 2024/10/19 21:25

これ、図を使わないと非常に伝わりにくいのですが、２次方程式のグラフが、Uのような形もしくは∩のような形をしているのはご存じでしょうか？

今はわかりやすいようにUの場合だけ考えますね。

このUとX軸との交わりを考えてみてください。ケースは以下の３つがあると思います。
１．UがX軸よりも上にあり、交点（交わっている点）がないケース
２．UがX軸と接しているケース
３．UがX軸と交わって、交点（交わっている点）が２つあるケース

これらのケースと不等号の向きにより答えが分かれてくることになります。
以下ではxの2乗をx^2と表現します。

３x^2ー7x＋2≦０については、３の交点が２つあるケースに当てはまります。
交点はx=1/3,2です。

この時、不等号が≦0となっているので、２次方程式のグラフのUとX軸と交わっているところの下側のUが答えの範囲になります。その時のXの範囲が1/3≦x≦2となります。
余談ですが、逆に不等号が逆に>0となっていたが場合、UとX軸が交わている部分の上側 が答えになるので、その時に取るxの範囲、x>1/3,2<xが答えになります。

次に、x^2ーxー2＜0についてですが、まず確認ですが、この答えは解なしではなく、-1<x<2だと考えられます。
理由は上の場合と同様で、このグラフはx軸で-1と2に交点を持っており、その下側が0より小さい範囲だからです。


解なし、またはすべての実数になるケースですが、１のUがX軸よりも上にあり交点がないケースの場合、解答なし、またはすべての実数が答えになります。
どちらになるかは不等号の向きによります。
UがX軸より上側にある場合、不等号の向きが（式）＞０であればすべての実数。（式）＜０であれば解なしです。

最後に、x=aやa以外のすべての実数となるケースですが、これは、２のグラフがX軸と接しているケースであります。

たとえば、x^2-2x+1≦0を考えますと、この式は(x-1)^2≦0で、このグラフはx=1でx軸で接していることがわかります。このとき、(式)≦0となるのは、接している点の身だということがわかるかと思います。
また、逆にx^2-2x+1>0の場合、接している場所以外すべてが答えになるため、x=1以外となります。


様々なパターンがあるので、かなり長文になりましたが、パターンで覚えるよりグラフを書いてみるとわかりやすいの、一度グラフを書いてみて頭を整理してみるとよいと思います。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2024/10/20 13:39

他の回答にもありますが、「次条」では 意味が通じません。

「二乗」又は「自乗」です。
なお、パソコンでは 普通 x² は x^2 と書きます。
（「^」は キーボードの上の方の 数字キーの 右の方にあります。
又 右肩の小さな ² は、普通に 2 を入力して 変換候補の中から選びます。

x²-x-2<0 → (x-2)(x+1)<0 ですから、
「解無し」ではなく 「-1<x<2 」となりますよ。
判別式を使えば b²-4ac → 1+8=9>0 ですから、
異なる実数解が 2つあることになりますね。

＞判別式を使うときと使わないときの違いがわかりません。

現実的には やって見ないと分かりません。
慣れてくれば 問題の式から 見当を付ける事が出来るようになります。
例えば 先の式 x²-x-2<0 の場合。
x=0 とすれば -2<0 で 式が成り立ちますよね。
x=10 とすれば 式の値は 正 になることが、暗算で計算出来ますから、
実数解が存在することが 分かります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/10/20 15:55

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/20 11:21

実係数二次不等式に解が存在するかしないかを判別するために

判別式が使えます。そこが自明なら、表立って使わないでもよいです。
虚数を使わない二次式の式変形は、解の存在を仮定しないと行えない
場合が多いため、状況を言葉で説明せずに式変形だけズラズラ並べたい
人は、まず最初に解の存在性に触れておくべきです。そのとき
判別式の正負が役に立ちます。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/20 11:15

最初の回答と同じ内容になりますが「○○のときの答えは☓☓でいいのにもかかわらず□□となったときの答えが△△なんです」と言うのも「実際に解いてみたらそうなった」と言うだけです。

「なんて☓☓と似たように答えないか」と言うのも単純に「○○と□□は全然似てないから」となるでしょう。

なお他の回答でツッコミがあったように

x^2-x-2<0

と言う不等式は「解なし」ではありません。早い話、この不等式の左辺にx=1を代入してみると

1^2-1-2=-2<0

となって問題の不等式を満たしています。

PS:単なる打ち間違いかもしれませんが2乗する事は「次条」ではなくて「自乗」です。なおウェブ上やメールの文章での累乗の書き方は、例えばxの2乗であれば今回の回答に書いたようにx^2と書きます。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/20 02:13

x^2-x-2=(x+1)(x-2)<0

のときの答えは解なしではなく
-1<x<2

No.3 回答者： redpolo 回答日時： 2024/10/19 21:42

No2ですが、補足ですが、判別式を使うときと、使わない時の違いですが、

パターン１のケースのようにX軸との交点が無いことを判別式で確認するために使います。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/19 21:13

「これはこう言う時に使う」と言ったハウツー的な覚え方はやめた方がいいと思います。

数学の魅力は「覚えなければいけない事が少ない」と言う事なのにわざわざ自分から覚える事を増やしにかかる必要はありません。

早い話、料理をする時に「この料理は包丁を使う。この料理は使わない」と言った事を最初から全部覚えておく料理人は恐らくいないでしょう。包丁が必要なら使うし必要ないなら使わない、ただそれだけです。判別式も全く同じで、使う必要が出て来たら使うと言うだけです。