整式f(x)が等式x^2f'(x) - f(x) = x^3 + ax^2 + bx を満たしている

整式f(x)が等式x^2f'(x) - f(x) = x^3 + ax^2 + bx
を満たしている時、a+bの値を求めよ


こちらの問題について質問させて下さい。

解答の方針としては次数を求めて恒等式で考えます。
その次数を求める際の考え方について質問させてください。

f(x) = kとおくと
-k = x^3 + ax^2 + bx より
恒等式ではない

f(x)をn次とすると

左辺　
x^2 →2次
f'(x) →n-1次
→ x^2f'(x)はn+1次

f(x) → n次
よりn+1=3
n=2次

Q1: x^2f'(x)はn+1次になるのは何故か？
2次×n-1次= n+1次になる理由を教えて下さい。

Q2: n+1次 - n次 = n+1次になるのは何故か？

よろしくお願いします。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/11/05 19:22

f(x) が x の 3次式なら f'(x) は 2次式になりますね。

f'(x)-f(x) は ２次式から ３次式を引くのですから、
３次式が 残りますね。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/11/05 09:01

A1

f(x)＝αxⁿ+βxⁿ⁻¹+γxⁿ⁻²…とおくと
これは最高次の項がαxⁿなので、n次式
f′(x)＝αnxⁿ⁻¹+β(n−1)xⁿ⁻²+γ(n−2)xⁿ⁻³…
xのn−4乗以下の項は、ご質問の最高次の次数には到底及ばず、書かなくても影響はないので
簡単化するために
f′(x)＝αnxⁿ⁻¹+βxⁿ⁻²+γxⁿ⁻³
とすると
x²f′(x)の展開式は
x²f′(x)＝x²(αnxⁿ⁻¹+βxⁿ⁻²+γxⁿ⁻³)
＝αnxⁿ⁺¹+βxⁿ+γxⁿ⁻¹
このことから、x^2f'(x)はn+1次だとわかります

A2
g(x)＝Axⁿ⁺¹+Bxⁿ+Ｃxⁿ⁻¹+Dxⁿ⁻²…とおくと、これはn+1次式
n+1次式−n次式
＝g(x)−f(x)　
＝(Axⁿ⁺¹+Bxⁿ+Ｃxⁿ⁻¹+Dxⁿ⁻²…)
−(αxⁿ+βxⁿ⁻¹+γxⁿ⁻²…)
＝Axⁿ⁺¹+(B−α)xⁿ+(Ｃ−β)xⁿ⁻¹+(D−γ)xⁿ⁻²…　
＝n+1次式　
となります

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/05 09:00

f(x) = Σ[k=0,n] (a_k)x^k と書いてしまえばいい。

f(x) が n 次だという仮定から、 a_n ≠ 0.

Q1.
(x^2)f(x) = Σ[k=0,n] (a_k)x^(k+2) となるから、
最高次の項は n+2 次。

Q2.
(x^2)f(x) - f(x) = Σ[k=0,n] (a_k)x^(k+2) - Σ[k=0,n] (a_k)x^k となるから、
最高次の項は引き算で相殺されることはなく、 n+2 次。

質問文中の答案で、f(x) を n 次と置く前に
f(x) = 定数 を別に考えているのは偉い。
これがちゃんとできる人は、以外に少ない。