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三角形ABCの内心をIとして
→AI=x→AB+y→AC
と表す
(1)BC=a、CA=b、AB=c とするとき
x=b/(a+b+c)、y=c/(a+b+c)であることを示せ
(2)三角形ABCの形状を変化させるとき、点(x、y)が動く範囲を求め、xy平面上に図示せよ
という問題なのですが
(1)は内心なので角の2等分線を利用するのでしょうか?そのときどのように座標を特定できるのでしょうか?
(29は軌跡でしょうか?軌跡が苦手なのでよくわかりませんでした
回答いただければありがたいです。宜しくお願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
座標を特定しなくてもいいと思います。
(1)の問題を
※ベクトルを[ ]で表します。
AIを延長してBCと交わる点をP、BIを延長してACと交わる点をQとします。
角の二等分線についてBP:PC=c:b、AQ:QC=c:aが成り立つので、
[AP]=b/(b+c)[AB]+c/(b+c)[AC]となり、
[AP]=k[AI]とおくと
[AI]=b/{k(b+c)}[AB]+c/{k(b+c)}[AC] ―(1)
次に、BI:IQ=t:1-tとおくと、
[AI]=(1-t)[AB]+t[AQ] となり、AQ=c/(a+c)ACであることを
考えると、[AI]=(1-t)[AB]+tc/(a+c)[AC] ―(2)
(1)(2)より、連立して計算するとk(b+c)=a+b+cと求まります。
※5行目の性質はOKでしょうか?
(2)の問題
(1)の問題からxとyの関係を求め、x、yの変域を考えればいいのではないかと思い
ますが、ちょっと自信なし。
No.4
- 回答日時:
No1です。
(2)の問題
※a>0,b>0,c>0のもとで No2の方のおっしゃる条件から、
a+c>b →a+b+c>2b→1/(a+b+c)<1/2b→b/(a+b+c)<b/2b
→b/(a+b+c)<1/2 だから、0<x<1/2
同様にして、0<y<1/2
これを図示すればいいと思います。「xとyの関係式~」は吟味程度でいいでしょう。
No.3
- 回答日時:
(1)についてですが、
∠BACの2等分線上の点Pは
→AP = m { (1/c)→AB + (1/b)→AC }
と表記できます。(これは結構使える式。→AB方向と→AC方向の単位ベクトルで張られるひし形の対角線をイメージしましょう。)
※#1さんの(1)式において、bc/{k(b+c)}=mと置き換えたものと同じです。
同様に、∠ABCの2等分線上の点Qは、
→BQ = n { (1/c)→BA + (1/a)→BC }
これより(Aを始点とする位置ベクトル展開を行うと)
→AQ = {1-n(1/c + 1/a)}→AB + (n/a)→AC
ということで、→AIは上記2式において
(1/c)m = 1-(1/c + 1/a)n
(1/b)m = (1/a)n
が成り立つので、これからnを消去してmを求めると
m = bc/(a+b+c)(以下略)
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