次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
1/3-3/5+3/5-5/7+5/7-7/9・・・・
という問いで、部分和Snを(1)n=2mと(2)n=2m-1に場合けをして、それぞれに『lim x→∞』をとったところ、
(1)limSn=lim2m=lim -2m-2/3m+12=-2/3
(2)limSn=lim2m-1=lim 1/3=1/3
ここまでは、いいのですが、解答で・・・
『ゆえに(1)(2)より、発散する』
と書いてありました。

なぜ、発散するのですか?振動するのではないのでしょうか?
ここのところををしえてください。

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A 回答 (2件)

vikkyi さんの(1)(2)はそのとおりですね.


で,問題は「発散」の定義です.
無限級数が収束しないときに,その級数は発散するといいます.
したがって,発散は必ずしも極限値が±∞であるときを意味しません.

極限値が±∞のときのみを指すには「定発散」といいます.
vikkyi さんの問題のような場合は「振動」あるいは「不定発散」といいます.

つまり,分類は

     ┌ 収束
 無限級数┤   ┌ 定発散
     └ 発散┤ 
         └ 振動(不定発散)
です.

     ┌ 収束
 無限級数┼ 発散  
     └ 振動
       
ではありません.

vikkyi さんは,定発散のことのみをを発散と言うと思われているようです.

問題が「収束、発散を調べ」とあるので,
答も「発散」とのみ書いて,定発散か振動かまでは触れなかったのでしょう.
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この回答へのお礼

本当に有難うございます。私は書いてあったとおり、発散と言えば±∞の事しか表していないのだとおもっていました。これで、私のなぞは解決されました。
本当に有難うございます。

お礼日時:2001/12/07 01:58

 


  どうも気づくと、こういう計算はすっかり過去のものとなっているのですが、級数式を順番に計算して行く限り、1/3と-2/3に振動するように思えます。
  発散という答えが間違っているのではありませんか。
 
  こういう級数式は、順番に計算して行くのが原則で、途中で勝手にまとめてはならないのですが、振動するように思えます。従って、発散の理由は分かりません。
  (何か、間違っているのでしょうか。あるいは、こういう風に、級数の項ごとで振動するのを、「発散」と呼ぶのかも知れません。発散だとすると、呼び方の問題になります)。
 
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Q(2)^m(2m-1)(2m-3)(2m-5)・・・・1=(2m)!/

(2)^m(2m-1)(2m-3)(2m-5)・・・・1=(2m)!/m!


回答を見たら、右辺のようになっていました。
なんで右辺のように展開できるのでしょうか?
コツとかあれば、わかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

こんにちわ。

(2m)!から消えている項を考えれば、見えてくると思いますよ。
(2m)!= 2m* (2m-1)(2m-2)(2m-3)(2m-4)(2m-5)・・・*5* 4* 3* 2* 1

消えている項は、
2m、2m-2、2m-4、・・・、4、2
→ 2*m、2*(m-1)、2*(m-2)、・・・、2*2、2*1

となっています。
ということを考えると、
(2m-1)(2m-3)(2m-5)・・・* 5* 3* 1= (2m)!/{ 2^m* m! }

あとは、ちょっと項を移すだけですね。

Qcosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 +

cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}
このグラフが分かりません…
教えてください!

Aベストアンサー

+ {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx) は
+ {(x-π/4)^3/3!}・cos(θ(x-π/4)) ではないかと...違うかな?

で、これは cosx そのものです。θは x の関数なのでそれに惑わされないように。


下のはそれでなく、f(x)=(8/π^2){ (x-π/4)(x-π/2) - √2 x(x-π/2) } が正しいと思います・・・
このグラフは添付した図になります。
かなり近いです。

描き方は、計算機を用意して頂点を数値計算、あとは (0, 1) 、(π/4, 1/√2) 、(π/2, 0) を通るように二次関数のグラフを描けば良いです。
あるいはグラフ描画ソフトの力を借ります。

Qd^2/dt^2 + 3kz/m -3kh/(2m)=0 の解き方

d^2/dt^2 + 3kz/m -3kh/(2m)=0 の解き方

d^2/dt^2 + 3kz/m -3kh/(2m)=0
の特解z'は
z'=m/(3k)*3k/(2m)*h=h/2
一般解はz=A sin(ωt+δ)+h/2 (ω=√(3k/m))
なのですが、
なぜこうなるのかが分かりません。
つまり、この微分方程式の解き方が分かりません。

どなたか、教えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

d^2/dt^2 + 3kz/m -3kh/(2m)=0
は、なんか変ですね。
おそらく
d^2 z/dt^2 + 3kz/m -3kh/(2m)=0
ではないでしょうか。

k、m、hは定数ですよね?

私はよくわかりませんが
z’’ + qz = R
(しかもRはtの関数ではなく定数)
という簡単な形の常微分方程式ですから、教科書に解法が載っていると思います。

こちらも参照。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bibun0.htm

Qlim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

lim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

ということなのですが、区分求積法を使おうとしたのですが、よくわかりません。
複雑ですが、解けた方は教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従って、そのフーリエ係数はn→∞のとき0に収束する。
(リーマン-ルベグの定理を用いた。)よって第二項目の積分は0となる。

よって、lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=1/2・log(1+π/2)
となる。

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従っ...続きを読む


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