どなたか、3次元の極座標のラプラシアンの式をステップバイステップで教えてください。

A 回答 (1件)

極座標については何回か質問されています。



あなたの回答には下の参考URLのstarflora様の参考URLが参考になると思います。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190707
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この回答へのお礼

大変参考になりました。有難うございました。

お礼日時:2002/01/22 19:58

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Qラプラシアンの物理的な意味

ラプラシアンが、物理的側面から、どのような意味を持つのか想像できません。

ΔA=∇^2 A= div grad A
ラプラシアンが勾配の発散であることは、数学的に理解できます。
また、勾配、発散(湧き出し)はイメージできます。

しかし、勾配の発散のイメージが分かりません。
googleで調べてみましたが、検索方法が悪いのか、理解できるページが見つかりませんでした。
Gooにも該当する質問はないようです。

初歩的な内容で恥じ入るばかりですが、
どなたか、「勾配の発散のイメージ」をご教授ください。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。

いい線行っているのではないでしょうか?
勾配というのは,要するに傾きですよね。発散場のベクトルは最大勾配を下る向き。山をちょろちょろ下る水の流れのようなものです。「ちょろちょろ」でなくてはなりませんが,イメージとしては十分。
山肌は2次元面なのに対して,3次元空間のポテンシャルの勾配というのをイメージできないのは,しかたのないことです。むしろポテンシャルAに対する理解が十分かどうかが問われるでしょう。たとえば,密度減少の最大勾配方向に向かう流れベクトル・・・などはいかがでしょう。そうした具体的な場面に適用していくことで,ラプラシアンのイメージができていくと思います。本来が数学的抽象的な概念なのですから,イメージをつくるにはアナロジーと応用を知る以外にはないのではないでしょうか?

Q3次元極座標から2次元極座標への発散の変換(θ=π/2)

三次元極座標(r,θ,φ)の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標になるはずですが、何度計算してもそうはなりません。なにか勘違いをしているのでしょうか?
以下で偏微分の記号をd/drに変えて書かせてせて頂きます。

三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)発散のrに関する項は(θ=π/2としてd/dθの項を消す。ちなみにこの操作は発散のrに関する偏微分の項に何の影響も与えません)
1/(r^2) d/dr(r^2 * A1)
です。


一方、二次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)の発散のrに関する項は
1/r d/dr(r * A1)

となり、一致しません 。これが私の計算間違いなのかそもそも一致しないのが正しいのか
また、一致しないとすればその本質的な原因はなんなのでしょう?

どなたかご教授いただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

 ご質問にある

> 三次元極座標(r,θ,φ)の発散

という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

  (1)ベクトル場Aは3次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
  (2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応させる、
という値域の話とをごっちゃになさっているだけではないか?

と推測される。というのは、ご質問にある、

> 三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)

ってところ、「三次元極座標においてベクトル場A」を考えているのなら、それは(1)を意味している。また、「ベクトル場A(A1,A2,A3)」という部分は(2)を意味している(っぽい)。両者は別々の話なのに、一緒くたにして書いてある。
 「AはA:R^3→R^3であるものとする」とでも宣言してあれば何の話なのかはっきりするのだけれども、それがご質問に書いてないということは、「A:R^3→Xである。その定義域R^3をある曲面に制限すると…」って話と「A:Y→R^3である。その値(∈R^3)をある曲面(の接平面)に射影すると…」って話が混在していることが疑われるな、と思います。

 (円柱座標であろうと何座標であろうと関係なしに)定義域が3次元空間に広がっていて値域が3次元ベクトルである場Aについて、その定義域をひとつの平面上に限定して考えてみたって、「各点に3次元ベクトルが対応している」という値域についての話には何の違いもなく、なので、定義域を限定しただけじゃ2次元のdivergenceなんか出てこない。(わざわざ式を書いてみなくたって)当たり前ですけど、えーと、これは腑に落ちますかね?
 さて、

> そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、2次元極座標のdivergenceと一致する

の「消す」の意味ですけど、それは「消えるようにする」ということではなく、自分で勝手に「無視する」という意味でしょう。 この操作によって、R^2→R^2の別のベクトル場を作る。するだとすればそれはまさしく、ANo.2でθ=0のところで説明した、射影で作ったベクトル場Bのこと。
 で、以下はANo.2の繰り返しですけど:

 すなわち、Bは、Aの3つの成分のうち、z=0の平面と直交する成分を無視したもの。従って、Bはこの平面上の各点にベクトルを対応させ、しかもそのベクトルはこの平面と平行な2次元ベクトルである。
 そういう2次元ベクトル場Bについてなら、3次元のdivergenceと2次元のdivergenceと「一致する」のは当たり前である。これはAとは何の関係もない話で、最初っから平面上で任意の2次元ベクトル場B:R^2→R^2を考えれば当たり前に成り立つことである。

 θ≠0の場合には、円錐面上の各点について、その点で円錐面と直交する成分を無視してBを作る、という「操作」をする話になる。もちろんAとは関係なく、最初っから円錐面上で任意のベクトル場B(ただし、Bの各点におけるベクトルはその点において円錐面と平行である、という制約がつく。)を考えれば良い。なお、Bを直交座標で表現すれば、「Bは各点に3次元ベクトルを対応させるが、ただし、その3次元ベクトルには制約がひとつ付く(ので、自由度は2つしかない)」というふうに書くことになる。

 そして、特にご質問のθ=π/2の場合については円錐面が直線に縮退するんで、無視しないで残るのは成分ひとつだけ、つまりスカラー場。直線上にスカラー値が並んでいるわけで、すなわちBってのはただの、1変数の実関数 R→R のことです。

ANo.2へのコメントについてです。

> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

 ご質問にある

> 三次元極座標(r,θ,φ)の発散

という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

  (1)ベクトル場Aは3次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
  (2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応...続きを読む

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Q3次元物体1から3次元物体2への座標変換式

3次元物体1から3次元物体2への座標変換式
ある円柱の表面(側面、上下面)に分布する適当な点群を、別の場所の歪んだ円錐の側面に移動させたいと思っています。円柱は通常のいわゆる円柱ですが、円錐は通常の円錐を異なる2つの面でカットしたような形(円錐帯?)となっており、カットした面は平行ではありません。しかも円錐が歪んでおり中心軸は底面に直角ではありません。でも円柱の上下面はこの円錐帯の上下面に対応させ、円柱の側面は円錐帯の側面に対応させるような変換をする必要があるんです。ある空間を歪ませるような変換式になるかと思われますが、その考え方がわかりません。変換式の作り方のコンセプトのようなものを教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。図も添付させていただきました。

Aベストアンサー

考え方だけですが。

円柱の上面を円錐帯?の上面に変換する変換式は、座標系の移動・回転・拡大縮小で求めることができます。
下面の変換式も同様に求められます。
円柱の上下面の変換はこれでできます。

円柱の側面の変換は、
円柱の上面、下面のZ座標をz1,z2、側面の点の座標を(x0,y0,z0)とするとき、
z0=tz1+(1-t)z2 と表せば、
上面の点(x0,y0,z1)を変換した座標を(x3,y3,z3)、
下面の点(x0,y0,z2)を変換した座標を(x4,y4,z4)とすれば、
(x0,y0,z0)の変換座標は、
(tx3+(1-t)x4,ty3+(1-t)y4,tz3+(1-t)z4)
として求めることができます。
(側面に限らず任意の点の座標がこの方法で変換できます)


ただし、変換のしかたは一通りではないので、別の方法では別の座標になることもあります。

QTeXについて

TeXについて質問です。

Easy TeXを使っています。
ですが、コンパイルができません。
TeXのほかに何かインストールしなければならないらしいのですが、何かわかりません!!
どなたかインストールできるURLなど教えてください!!

回答よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/bibun2e.html

● 大島利雄氏サイト
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/ftp-j.html

●  TeX Q & A
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/qa

「TeX Q & A」は, TeX に関する諸々のQAを扱い,
ほとんどの質問に専門家などの方々が回答を寄せてくれます.

参考URL:http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.ed...続きを読む

Q3重積分を3次元極座標を用いる場合

∫∫∫[D]x^2*y^2*dxdydz、D={(x,y,z):x^2+y^2+z^2≦1}

という問題を3次元極座標を用いて計算するのですが、途中式で

∫[0→1]r^6dr∫[0→π]sin^5θdθ∫[0→2π]cos^2φ*sin^2φdφ

になると思います。その時のθとφについての積分の計算方法が分かりません・・・。
助けてください!お願いします><

Aベストアンサー

質問者さんの途中までの計算を信じて、チェックなしで、そこのやり方だけ書きますが、

∫(sinθ)^5 dθ は、∫(sinθ)^4 (sinθ)dθ として、
t = cosθとおくと、dt/dθ = -sinθ ⇔ -dt = (sinθ)dθ、
(sinθ)^4 = {(sinθ)^2}^2 = {1-(cosθ)^2} = (1-t^2)^2
なので、この路線で置換積分、

∫(cosφsinφ)^2 dφ = ∫(sin(2φ)/2)^2 dφ
= (1/4)∫(sin(2φ))^2 dφ = (1/4)∫(1-cos(4φ))/2 dφ
のようにして、計算できます。

もっと、次数が高くなったり、似たような計算をたくさんするときは、
部分積分使って、漸化式を作るコースの方が楽になりますが、
このくらいなら、置換積分と半角公式コースがてっとりばやいかと。

QTeX原稿ファイルのMIMEタイプは?

ホームページを開設しようかと,プロバイダ(ぷらら,@niftyでも同じ)のHP用のMIMEタイプ一覧表を見ていたのですが,TeXの文書はapplication/x-texとなっています.
TeXの原稿は明らかにテキストファイルのはずですが,なぜapplicationなのでしょう?

TeXはそれなりに使い慣れているのですが,そもそもMIMEがメールの添付ファイル用のヘッダだということは今日知ったもので…

Aベストアンサー

texはテキストエディタで開いてもふつうには読むことが出来ませんね?
コマンド(と言ったか?)に文字が紛れているのが普通です。
そこで、texを普通に(読むだけなら余分なコマンドを表示しないよう)見せるためにコンパイルする必要があります。ということは、テキストファイルではあっても何らかの処理が必要になるのでMIMEタイプを指定する必要があると言うことになります。

Qラプラシアンの極座標表示について

化学系の学部にいるので数学は不得意なのですが,誰か教えて下さい。
ラプラシアンを2次元直交座標から2次元極座標に変換する場合
直交座標(x,y),極座標(r,θ)とすると,
x=rcosθ,y=rsinθ・・・(1)からδ/δx,δ/δyを求める時,参考書によると
r^2=x^2+y^2,tanθ=y/x・・・(2)
δ/δx=(δ/δr)(δr/δx)+(δ/δθ)(δθ/δx)
δ/δy=(δ/δr)(δr/δy)+(δ/δθ)(δθ/δy)・・・(3)
(2)をxで微分すると
2r(δr/δx)=2x=2rsinθ
(1/(cosθ)^2)(δθ/δx)=-(y/x^2)=-(sinθ/r(cosθ)^2)
より
δr/δx=cosθ,δθ/δx=-(1/r)sinθ
同様に
δr/δy=sinθ,δθ/δy=(1/r)cosθ
以上の関係を(3)に入れれば,
δ/δx=cosθ(δ/δr)-(1/r)sinθ(δ/δθ)
δ/δy=sinθ(δ/δr)+(1/r)cosθ(δ/δθ)となります。
これで,合っていいるのですが,初めて,私がこの問題を考えた時,
(1)をそれぞれ,rとθで偏微分しました。
δr/δx=1/cosθ,δθ/δx=-(1/rsinθ)
δr/δy=1/sinθ,δθ/δx=(1/rcosθ)となりsinθ,cosθの項が
正解と逆転してしまい,異なる結果となってしまいました。
私は,どちらの方法でも同じになると思っていたのですが,
どうして,違うのですか誰か分かりやすく教えて下さい。

化学系の学部にいるので数学は不得意なのですが,誰か教えて下さい。
ラプラシアンを2次元直交座標から2次元極座標に変換する場合
直交座標(x,y),極座標(r,θ)とすると,
x=rcosθ,y=rsinθ・・・(1)からδ/δx,δ/δyを求める時,参考書によると
r^2=x^2+y^2,tanθ=y/x・・・(2)
δ/δx=(δ/δr)(δr/δx)+(δ/δθ)(δθ/δx)
δ/δy=(δ/δr)(δr/δy)+(δ/δθ)(δθ/δy)・・・(3)
(2)をxで微分すると
2r(δr/δx)=2x=2rsinθ
(1/(cosθ)^2)(δθ/δx)=-(y/x^2)=-(sinθ/r(cosθ)^2)
より
δr/δx=cosθ,δθ/δx=-(1/r)sinθ
同様に
δr/δy=si...続きを読む

Aベストアンサー

座標変換や偏微分を教えていると,よくお目にかかる例です.

偏微分の記号は JIS にありますので∂を使うことにします.

本質は redbean さんが書かれているとおりで,
∂r/∂x を計算するとき,何を一定として計算するかの問題です.
通常,独立変数は (x,y) の組,あるいは(r,θ)の組ですから,
x で偏微分するときは y 一定でやるのが常識的です.
つまり,r = √(x^2 + y^2) として,
(1)  ∂r/∂x = x/√(x^2 + y^2) = r cosθ/r = cosθ
です.
一方,r = x/cosθ と考えてθ一定で偏微分すると
(2)  ∂r/∂x = 1/cosθ
となって,(1)(2)では分母分子が逆転してしまいます.

偏微分のときに一定に保った変数を下付で書くのはご存知ですよね.
熱力学でいやと言うほど出てきます.
これを明確に書くなら,
(1)は (∂r/∂x)_y を計算しているのに対し,
(2)は (∂r/∂x)_θ を計算しています.
偏微分の際に一定に保った変数が違うのですから,結果が違っても不思議はありません.

図を描くと状況がもっと明確になります.

     y
   
     │        Q'
     │       /
     │      /
     │     /
     │    P───Q
     │   /
     │  /  R
     │ /
     │/θ
     └────┬───┬─ x
    O     │ dx │

P点から出発して,x を dx だけ増やしたときに,
y 一定ならQ点に行きますが,θ一定ならQ'点に行きます.
このときの r の変化は,
y 一定なら(ほぼ)QR(RはPからOQへの垂線の足,PR がここではうまく描けません),
θ一定なら PQ' です.
△PQQ' と △QRP は相似ですから,QR:PQ = PQ:PQ' = cosθ:1,
すなわち,PQ'/QR = 1/cos^2 θ です.
この因子がちょうど(1)(2)で cos^2 θ倍違うことに相当しています.

座標変換や偏微分を教えていると,よくお目にかかる例です.

偏微分の記号は JIS にありますので∂を使うことにします.

本質は redbean さんが書かれているとおりで,
∂r/∂x を計算するとき,何を一定として計算するかの問題です.
通常,独立変数は (x,y) の組,あるいは(r,θ)の組ですから,
x で偏微分するときは y 一定でやるのが常識的です.
つまり,r = √(x^2 + y^2) として,
(1)  ∂r/∂x = x/√(x^2 + y^2) = r cosθ/r = cosθ
です.
一方,r = x/cosθ と考えてθ一定で偏微分すると
(2)  ...続きを読む

QtexでText line contains an invalid characterというエラーがやたら出る

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcommand{\tblcaption}[1]{\def\@captype{table}\caption{#1}}
\makeatother

\begin{document}

文章

\end{document}

これで、
tex文書 1.tex(101): エラー: ! Illegal unit of measure (pt inserted).
tex文書 1.tex(101): エラー: ! LaTeX Error: Missing \begin{document}.
tex文書 1.tex(101): Overfull \hbox (14.70819pt too wide) in paragraph at lines 101--289
tex文書 1.tex(624): エラー: ! Text line contains an invalid
            省略
tex文書 1.tex(639): エラー: ! Text line contains an invalid character.
tex文書 1.tex(2): エラー: ! File ended while scanning use of \@argdef.

というように書いてない部分でエラーが出てしまいます。
\begin{document}より上の部分は以前使っていたものをそのまま使って
います。この部分を消しても変わりませんでした。
どうしたらエラーをなくせるか教えてください。
よろしくお願いします。

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcomm...続きを読む

Aベストアンサー

コンパイルにWinShellを使っていると思います。
WinShellの設定が日本語用にされていないので、英語版のlatex.exeが
動き、エラーが出ていると思います。
一度、WinShellの設定を確認してみてください。

Q数Ⅲ 式と曲線の問題です。中心の極座標(2,π/2)、半径3の円の極方程式を求めよ。よろしくお願

数Ⅲ 式と曲線の問題です。
中心の極座標(2,π/2)、半径3の円の極方程式を求めよ。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

xy座標で言えば中心は(0,2),半径3の円、ゆえに

x^2+(y-2)^2=3^2

x=rcosθ, y=rsinθ

を代入して整理すると

r^2-4rsinθ=5

r=r(θ)の形にしたいのであれば

r=2sinθ±√[5+4(sinθ)^2]

または

θ=arcsin[(r^2-5)/4r]


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