∞=1/0 , i=√(-1) , a*b=ab などの表記について

Question

表記について考えています。
たんに表記なので、どっちでもいいといえばどっちでもいですが、それなりに納得したいと思っています。

たとえば、a*b=ab と掛け算記号を省略するのに、足し算記号を省略しないのはなぜか？
これは、分配法則、
a*(b+c)=a*b+a*c
において、二箇所ある+よりも、３箇所ある*を省略したほうが、労力が少なくてもいいから、という認識でいいでしょうか？

次に、iと√(-1)において、iという表記が一般的ですが、iが別の意味で使われる電気関係の数学の場合は
√(-1)という表記がよくつかわれると思います。
では、√(-1)という表記にしたほうが、「語源」が明確なので、ベターだと思うのですが、なぜそうしないか？
これは、
√(-1)*√(-1)=√(-1)*(-1)=√1=1
などという間違った指数法則を連想しないように、という認識でいいでしょうか？

では、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%A4%A7
において、
アーベルなどは∞を 1 / 0のように表記していた
とあります。
疑問ですが、∞を 1 / 0のように表記すると、どういったデメリットがあるのでしょうか？

また、他の数学の表記についての、いわれ、みたいなのがあれば教えていただけるとありがたいです。

pyon1956 · Accepted Answer

#2です。
＞でも、i=√(-1)と書かれているのを見たことがあります

これはiの定義式です。ただしこの場合は√は二つある平方根のうち一つを表している、と解釈されているわけです。ですが√には他の用法もあるため、厳密に同じなのではありません。
というわけで不正確だから「数学では」わざわざルートに戻してつかうことは必要でも合理的でもありません。電気関係でも数学的に厳密な場合はせいぜいjを使うくらいで、√-1をわざわざ使うのは、数学的な厳密性より、初心者向きを重視しているからにすぎません。この程度の定義でも電気の計算に使うくらいなら困らない、と言うだけの話で、iをわざわざ定義する面倒を省いた、ということです。しかし何度もいうようにこれは厳密とはいえません。

逆に1/0は∞の定義式にはなり得ません。それでは矛盾が起きます。
∞というのは割算の結果出てくるもの、ではなく。逆に1/0という割算を実行しようとすると∞という状態になる、といっているのです。
通常の割算は0で割ることそのものを認めていないので、そういう意味で∞は計算の結果出てきたものではありません。反対に、計算の結果、として数では表せない状態をまとめて∞と呼んでいるだけです。少なくとも逆演算が出来ない（#1さんの指摘）状態でわざわざ「割算の形」にすることにどんな意味があるのでしょう？（割算とかけ算は逆演算だから、1/0=∞というのと1=0×∞は同値になるはずですが、後の演算の左辺は不定で、２でも３でもいいわけです）
そういう意味でアーベルの時代では既にコーシーの研究があり無限大・無限小を合理的に扱うことに成功していたのですが（少なくとも微分のあたりでは）たとえばカール・マルクス（あのマルクスですが）の数学に関するノートを見てもコーシーの存在に気がついてもいないわけです。どうもコーシーの結果も地域や立場によっては知りやすいものではなかったのでは？（ノルウェーは当時十分に田舎です）
実際質問者さんが引用されているページでもいろいろの無限があって、無限というものが分野や領域によっていささか違った扱いを受けているのが解る筈です。
で、ライプニッツ流の無限大・無限小も許容するのは超準解析、というのを付け加えておきましょう。ただしここでは=の意味が拡張されていますけどね。

ryn · Answer

> 積が和より優先される理由が不明です。
和が優先された場合，分配法則は
　2*(3+4) = 2*3 + 2*4
の左辺のように 3+4 の部分に括弧をつける意味がないので
　2+(3*4) = 2+3 * 2+4
のようになるということでしょうか？
こうだとすると，
　2+(3*4) = 14
　2+3 * 2+4 = 30
のようにおかしなことになります．


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
でも書かれているように，
まず，最初の数とある数を次の数に移すという演算が定義され，
次の数に移す演算を複数回繰り返した和が定義され，
さらに，和を複数回繰り返した積，
積を複数回繰り返した冪が定義されるというあたりを確認されれば，
計算順序は冪，積，和となることがわかると思います．

ryn · Answer

a*b=ab については積と和の計算における優先順位ではないでしょうか？

例えば，a*b+c の足し算記号を省略すると
　a*bc
となりますが，a と b の積を先に計算しなければいけないにもかかわらず，
a と b よりも b と c の繋がりの方が強く見え，
実際の計算順序と視覚情報が逆転しているような印象を（私は）受けます．

pyon1956 · Answer

記号というものは伝統的・歴史的なものです。従って特に不合理でない限りにおいて、歴史的な流れでどの記号を省略するか、またどちらの記号を選択するかが決まっているのであって、必ずしも納得できる合理性に寄っているわけではない、というのが本質でしょう。
プラスとマイナスで言えば、複合±などもありますから、やはりたし算としては省略しにくいだけで、符号としての＋は省略されるのが普通、というのはご存知の通りです。むしろ線形代数みたいに積の種類がいくつもあって使い分けている、というあたりが重要かもしれません。内積・外積・スカラー倍の使い分けですね。
虚数の表現では√-1の方が語源がはっきりしてベター、というのはどうかなと思います。大学数学においては√は二つの平方根両方を表しますから、この記号だとiと-iの区別がつきません。ここはやはりデカルトが想像上の数となづけ、オイラーがその頭文字をとってiという記号を作った、という歴史をこそ大切にすべきではないかと思います。ただし電気でjが使われるのは#1さんの仰る通り。
さて、∞ですがこれは数ではありません。従って1/0=∞（これは不正確で、本当はlim[x→0](1/x)=∞、ですが）、とはかけても、∞=1/0と置き換えをすることは出来ません。1割るゼロが無限大という状態になる、というのであって、無限大というのは必ずしも1割るゼロではないからです。
もちろん超準解析での∞の扱いなどもありますが、この場合もイコールの意味が違いますので、やはり置き換え可能、ということではありません。
なお射影幾何学の場合の無限遠点、というのは射影幾何ではそういうふうに定義している、ということであって、∞が一般に1/0と同じものであるということを主張しているのではありません。記号の定義と、その記号の（数ある内の）一用法を混同してはいけないと思うのですが。

以上のように記号は歴史と伝統を背負っていますから、よほどの不都合があるか、または特定の分野で本来の記号が別のものが使われている例はあっても多少の合理性のために別のものに変えられることはめったにありません。
また、定義がしっかりしていればいいので、分野ごとに微妙に使い方が違うなどの例は多々あります。
というわけで何らかの合理的な説明を求める、というのは（気持ちはわかりますが）恐らく無理ではないか、と思います。そういえば「無理数」の誤訳にしても変更される気配さえありませんしね。

yunitan · Answer

+,-には二つの意味があります、加算,減算と数値がプラスであるかマイナスであるかの二つです。通常はプラスの場合は省略されて表記されます。a-b=+a+(-b) この様に記号としての意味合いから＋は省略されなかった。と考えられます。
電気関係の数式では”i”は電流を表す”I"と混同し易いので”j"が使われます。
∞を1/0と書かれているのは”１つの例”と言う意味でしょう。
n/0は常に∞となります。∞と言う特定の数ではなく∞は不特定な数と定義されています。ゆえに∞×0=不特定（∞）となります。
∞=1/0としてしまえば1以外のnの場合はn/0の回答がある。と言う事になりますよね。ところがいくら計算しても数値は出て来ないですよ、永遠に計算しなけれならないですよね。

∞=1/0 , i=√(-1) , a*b=ab などの表記について

#2です。

> 積が和より優先される理由が不明です。

a*b=ab については積と和の計算における優先順位ではないでしょうか？

記号というものは伝統的・歴史的なものです。

+,-には二つの意味があります、加算,減算と数値がプラスであるかマイナスであるかの二つです。

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