No.1
- 回答日時:
xのy乗をx^yって書きます。
するとS(n) = 8((5/4)^n)-8-20n (nは整数)
まず、
nの代わりに実数xを持ってきて
S(x) = 8((5/4)^x)-8-20x
にしてみる。(5/4)^xの部分は単調増加の指数関数であり、-20xの部分は単調減少の直線ですから、S(x)は極小を1個だけ持つのが分かります。
S(x)の最小値(極小値)を考えます。つまりxで微分して、これを0と置く。
∂S(x)/∂x = 8((5/4)^x)ln(5/4)-20
より
8((5/4)^x)ln(5/4)-20 = 0
ですから
x=ln(ln(5/4)/2)/ln(4/5)+1
これはもう電卓で計算しちゃうと、
x=10.828
ってわけで、この前後、つまりn=11かn=10っきゃないと分かります。
あとは電卓で、S(10)とS(11)のどっちが小さいか調べれば良い。
S(10)=-133.49
S(11)=-134.87
ってわけで、S(11)の勝ち。(<勝ち?)
No.2
- 回答日時:
基本的には1の方と答えは一緒ですが、厳密にはS(n)をnで微分してS'(n)=0となるnについてS''(n)の値が正であるか負であるかを考察する必要があります。
S''(n)>0となるとき、そのnは極小値を取ります。その極小値nが最小であるか否かは、nの左側と右側とで、それぞれ単調減少、単調増加しているかを別途調べる必要がありますが、それについてはまあいいでしょう。
以上、蛇足でした。
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