この後、小問がいくつか続くのですが、まったく手がつかずどうしようもないので、アプローチの方法等を教えていただきたくて質問しました。私はfn(x)とfn+1(x)で漸化式を立てましたが、できず。
fn(x)のn階微分がlogxであると考えやってみましたが、無理でした^^;問題(一部)は以下のとおりです。
自然数nに対してfn(x)(x>0)を次のように定める。
f1(x)=∫(インテブラルの1~x)logt dt
fn+1(x)=∫(インテブラルの1~x)fn(x)
このとき極限An=lim(x→∞)fn(x)/(x^n・logx)の値をnで表せ。
以下略
よろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
数列を求めるために有効な方法の一つは最初の幾つかを
実際に計算してみて予測を立てることです。
まず f_1(x) を計算してみると
log t = t' log t と考えて部分積分を用いる事により
f_1(x) = x log x - x + 1
次に f_2(x) を計算してみると
t log t = (t^2/2)' log t と考えて部分積分を用いる事により
f_2(x) = (x^2/2) log x - (3/4) x^2 + x - (1/4)
次に f_3(x) を計算してみると
t^2 log t = (t^3/3) log t と考えて部分積分を用いる事により
f_3(x) = (x^3/(2*3)) log x + (3次式)
ちなみに f_4(x) を計算すると
f_4(x) = (x^4/(2*3*4)) log x +(4次式)
これらの計算から
☆ f_n(x) = (x^n/n!) log x + (n次式)
と予測できます。
☆ がn=1,2,3で成り立つ事は計算済みです.
☆ を仮定すると ☆ の式を
x^n log x = x^{n+1}/(n+1) log x
と考えて 1 から x まで部分積分する事により
f_{n+1}(x) = (x^{n+1}/(n+1)!) log x + ((n+1)次式)
となりますから, 数学的帰納法により
1以上の全ての n に対して ☆ が成り立ちます.
さて ☆ から
f_n(x)/(x^n log x) = 1/n! + (n次式)/(x^n log x)
で, 分母の方が log x の分大きいですから
lim_{x → ∞}(n次式)/(x^n log x) = 0
です。
以上から
lim_{x → ∞}f_n(x)/(x^n log x) = 1/n!
です。
という事で、方針をまとめると
1.小さい n について実際に計算する
2.予測を立てる
3.数学的帰納法でそれを証明する
となります。
f_1 からはじまって f_{n+1} を f_n を用いて定義する事
を繰り返して 数列・関数列を定義していく方法を
「帰納的定義」と言います。帰納的定義で設定されている問題に
対しては123の流れが王道の一つです。
No.2
- 回答日時:
#1のかたのと逆の方法も使えるような?
logxは単調増加だからf1(x)→∞。順次fn(x)→∞。
したがってAnにはロピタルの定理が使えます。
(x^n・logx)のn回微分はライプニッツの公式を使って計算すると
定数+n!logxになります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 関数列の収束について 次の問題を教えて欲しいです。 区間[0,1) の関数列fnと関数f(x)につい 1 2022/06/01 08:33
- 数学 統計学の問題です。 2 2023/07/28 01:20
- Visual Basic(VBA) 【マクロ】フォルダにファイルが1つも無い時に、ファイルがありませんとメッセージを表示する 4 2022/08/28 08:48
- 軍事学 GLOCK 43X と FN Reflex と S&W EQUALIZER は、幅はそれぞれ、何イン 1 2023/04/27 16:33
- その他(ホビー) GLOCK 43X と FN Reflex と S&W EQUALIZER は、幅はそれぞれ、何イン 1 2023/04/25 13:22
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
logeの計算
-
10の0.3乗って??
-
2の50乗を簡単に概算出来る方...
-
常用対数についての問題です。7...
-
数学の極限の問題です! (1)l...
-
∮x ^2/x-1 dxの計算結果につい...
-
1/2+1/4+1/6+……+1/(2n)が発散
-
べき乗とはなんでしょうか? 数...
-
極限の計算をお願いします。 {...
-
なぜ高速フーリエ変換はO(n*log...
-
関数電卓でlog2=とおすと、0.3...
-
【経済】毎年3%ずつ成長率が上...
-
log ₃5log ₃9の計算の仕方を教...
-
log(-2)の求め方
-
乗数計算がわかりません
-
物理の計算で×10^3とかするのは...
-
積分・・・数列??
-
分数の場合のlogの計算の仕方が...
-
楕円体の表面積について
-
0.5時間などの時間計算の方法
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
logeの計算
-
10の0.3乗って??
-
2の50乗を簡単に概算出来る方...
-
∮x ^2/x-1 dxの計算結果につい...
-
2のN乗が10の場合、手計算で...
-
log(-2)の求め方
-
1/2+1/4+1/6+……+1/(2n)が発散
-
262144って2の何乗でしょうか?
-
常用対数についての問題です。7...
-
【経済】毎年3%ずつ成長率が上...
-
∫[2、∞] dx/logx の発散・収束...
-
物理の計算で×10^3とかするのは...
-
小数点以下の乗倍数について。
-
乗数計算がわかりません
-
分数の場合のlogの計算の仕方が...
-
極限の計算をお願いします。 {...
-
2を何乗したら2億を超えるか
-
数学の口頭試問具体例を教えて...
-
√(55000/n)が整数になるとき...
-
関数電卓でlog2=とおすと、0.3...
おすすめ情報