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友達に簡単な中学校の問題を質問されました。
(1)のように解説して解いて教えたのですが、
「それは理解できた。でもなぜ(2)は間違いなの?(2)も平均じゃないの?」っと聞かれて、答えられませんでした。
でインターネットで調べているうにち僕も分からなくなってきました。
もし、問題に相加平均を求めよ!!って書いてあったら(2)が正解な気さえしてきました。
(2)の解答がダメな理由、是非詳しく教えてください!!

問題
Aさんは自宅から12km離れた親戚の家まで行ってきました。行きは時速6kmで、帰りは時速4kmで歩きました。
Aさんが往復した平均の速さは時速何kmでしょうか。

(1)調和平均を用いた本当の解答
Aさんは往復で24km移動し、それにかかった時間は、行きが12÷6=2、帰りが12÷4=3
Aさんは24kmを5時間かけて移動しているので
速さは24÷5=4.8 時速4.8km

(2)相加平均を用いた間違いの解答
6km+4km=10km  10km÷2(往復)=5km    答え 時速5km

教えて!goo グレード

A 回答 (6件)

まず、平均とは何なのかについて説明させていただきますと、


ある単位で表されるものの合計をある単位で割ったものです。
例えば、平均年齢の場合は、各人の年齢の合計を人数で割ったもの
であり、その平均の単位は平均年齢が20歳の場合は20歳/人で
表されますが、日常的には単位の/人は省略されます。
要するに1人当たりの年齢が、平均年齢に当たるわけです。

また、人口密度についても、ある都道府県もしくは市町村の総人口
を面積km2で割ったものであり、単位としては人/km^2として表されます。
これも一種の平均になります。

これらを踏まえ、相加平均で計算した場合の単位について見てみると、
6km/h + 4km/h / 2個 =5(km/h)/個と意味不明な単位になります
ね。要するにこの場合は、2つの平均の速度のデータから1個あたりの
データの平均値を求めているだけに過ぎず、これは平均の速度の定義に外れるわけです。

従って、平均の速度とは、移動距離の総和を移動時間で割ったものに
あたります。よって、行きの平均の速さ、帰りの平均の速さから、
往復の平均の早さを求めるためには、
行きの平均の速さv1,行きの移動時間t1,帰りの平均の早さv2,
帰りの移動時間t2とおくと、(v1t1+v2t2)/(t1+t2)と表され、
片道の距離をSとおくと、t1 = S/v1, t2 = S/v2と表されるので、
これらを代入して計算すると、2S/(S/v1 + S/v2)となるので、
2/(1/v1 + 1/v2)となり、結果的には調和平均になるわけですね。

よって、平均の計算をする時は、何に対する平均を求めるのかを把握し
、なおかつ単位を意識して使い分ける事が重要です。
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この回答へのお礼

納得!!
確かにおっしゃるとおりですね!!
物理とかだと単位意識してるのに、こういう問題になると基本である単位を意識してませんでした!!
本当によく理解できました!!全く同じ説明してみます!!ありがとうございました!!

お礼日時:2007/02/02 22:35

時速というのはあくまで単位時間あたりの速度、つまり 1 時間に対してどれだけ進むかということです。



縦軸に速さ、横軸に時間をとってグラフを書くと移動距離はx軸とで囲まれた部分の面積になります。
グラフを書いてみれば何処で違っているのか少しわかりやすいと思います。
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この回答へのお礼

なるほど、なるほど、グラフを使って説明するのはアリっすね!!
ありがとうございました!!

お礼日時:2007/02/02 22:40

速度は、道のり/時間です。


(1)は、そういう計算になっていますが、(2)は、単純に速度を平均しただけです。
移動している時刻が違う事象の速度を足しても意味がありません。
平均の速度は、(1)でないと求める事ができません。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!
原点に戻って考えないとだめですね!!

お礼日時:2007/02/02 22:41

時速6kmで歩いていたときと、時速4kmで歩いていたときの時間が


違うからでしょうね。

時速6kmで歩いていたときの時間が2時間
時速4kmで歩いていたときの時間が3時間
なので、時速6kmには2、時速4kmには3の重みをつけて
平均するのが正解で、(6×2+4×3)/(2+3)=24/5=4.8

もちろん、時速6km、時速4kmで歩いていたときの時間が同じなら
平均時速は単純な相加平均ですね。
速さというのは、単位時間当たりの移動距離ということを考えれば
わかると思うのですが。

ほかに、速さでなく、もっと極端な例として、
貯金が0円の人が一人、貯金が100万円の人が99人
いるとして、この100人の平均貯金額を考える場合、
平均=(0円+100万円)/2=50万円
と考えるでしょうか?直感と合わないとすぐわかると思います。

質問の例では、数値が似通っていて、直感では捉えられずに
こんな変な考えも起こしてしまうのかと思います。
(そもそも、時速5kmで5時間歩くと、25km移動してしまう)
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この回答へのお礼

おぉーーー
なんと分かりやすい説明!!
そのまま説明してみます!!ありがとうございました!!

お礼日時:2007/02/02 22:42

サンプルを何に取るか、で答えは変わってくると思います。



往復の道のりの平均の速さ、なら(1)
往復の速さの平均、なら(2)
ってところでは?

(1)は全体を一つのサンプルとしていますが
(2)は往路の速さ、復路の速さ、と速さをサンプルとしています。

どうでしょ。
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この回答へのお礼

なるほど、なるほど、そういうふうに説明してみます!!
ありがとうございました!!

お礼日時:2007/02/02 22:46

問題で問われている「平均の速さ」の定義は何か?ということに尽きます.



ふつう,
(平均の速さ) = (総距離)/(総時間)
と定義すると思います
(同じ時間で,全行程を一定の速さですすんだとしたときの速さ).
この定義のもとでは(1)が正解.
時速6kmで歩いた時間と時速4kmで歩いた時間が違うため,
(2)の方法で正解は出ません.

「行きの速さと帰りの速さの数字を足して2で割ったという意味での平均を求めなさい」と言われたら(4+6)/2が正解でしょうが,この問題は違いますよね.

その問題が載っているテキストか教科書などで平均の速さの定義を確認してください.
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!
ちなみに中学のテキストひっぱてきて見たんですが、当たり前のように調和平均の公式のってるだけで、この問題は相加平均で解いてはダメです。だけしか書いてないんですよぉ。今にして思えばなんって乱暴なテキスト!!それで納得して生きてきた僕もバカですけど・・・。
とにかくありがとうございました!!

お礼日時:2007/02/02 22:45

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