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No.4
- 回答日時:
まず、曲線y=x^3-3x上の点をpとします。
pの座標はp(t,t^3-3t)と表せますね。(t:実数)
次に点pにおける接線の方程式は
y-(t^3-3t)=(3t^2-3)(x-t)
で表せますよね。
この接線が点(a,b)を通るとすると
b-(t^3-3t)=(3t^2-3)(a-t)
となりますね。
それじゃあ、この式をどうしようかという話ですけど、今の場合接線が3本引けるという事は、接点pが3個あるということです。
ということで、上の式をtについて整理しますと
2t^3-3at^2+3a+b=0
となります。このtに関する3次方程式が相異なる3つの実数解を持つようなa,bの条件を考えれば良いわけですね。
※「接線が3本引けるという事は、接点pが3個あるということです。」これはいつも成り立つわけではありません。
という、受験ではよくありがちな問題ですね。ただ、あんまり気持ちの良い回答ではないような気がします。
ちなみにANo.2さんの方法だと、とっても難しくなります。
No.2
- 回答日時:
<方針>
点 (a, b) を通る方程式を傾きを m として考えて、y = x^3 - 3x との接線となる時の m を求める方程式を得る。
m が 3つの解を持つような (a, b) を考える。
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