待ち行列理論がよくわからない

待ち行列理論を直感的にわかる例えで教えてください。
人がATMに並んでる例えとかでお願いします。
下記のサイトでρ＝λ/μと書いてあったのですが、
ρ＝１ということは１時間に一人行列に加わって、
１時間に一人行列から出ていくってことで合ってます？
ってことは行列は伸びないから待ち時間も一定だと思うのですが、何が間違ってるんでしょう？
ρ＞１だと、行列がドンドン伸びるので、待ち時間もドンドンふえると直感的に思ったのですが、ρ＞１が無いってのもよくわからないです。
あと、λの定義は一定時間に行列に加わる人、ということですが、
行列に並んでる人数という観点で見ると、
並んでる人数に対する（最後に来た人の）待ち時間は線形のグラフになる、と思うのですが、あってます？
同じようなこと言いますが、ATMの処理能力が第一のボトルネックになるとして、
待ち行列が増えて、そのボトルネックに張り付いたとしても、
人数に対する待ち時間は線形のグラフになると思うのですが、
で、他のボトルネックもあったとして、そのボトルネックに達したら
そこでグラフが上に折れ曲がって、ってのをボトルネックの数だけ繰り返すのかと思うのですが、
でも現実的なシステムではボトルネックの要素数って上限があるので、
全部のボトルネックが埋まったら、あとはひたすらグラフは線形に伸びるだけだと思うのですが、違うんですか？

http://www.objectclub.jp/technicaldoc/monkey/s_w …

「とりあえず○○の本を読め」とか「○○（←数学の基礎公式）を覚えてから出直せ」的な回答ではなくて、
小学生でもわかる例えでお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2007/03/17 09:18

質問者さんの引っかかっている最大のポイントは

『ポアソン到着、指数サービス』を理解されていないためだと思います。
(本当は違う分布を考えることも有るのですが大概はこの分布で考えます)

第一にρが1を越えることはもちろん有りますが、この場合はシステムは既に破綻して
いますので行列を考えるまでもないのです。だからρ＞１は考えません。
また、ρ=1は

>ρ＝１ということは１時間に一人行列に加わって、
>１時間に一人行列から出ていくってことで合ってます？

これは入ってくる人数と出て行く人数が同じと言うことで一人、一人ではありません。


ATMの例がでていますのでこれで説明すると

来る人が少ない時はATMはガラガラですが昼休みなどの時はどんどん人が来て
あっという間に行列を作ります。一日を通して一定の間隔で人が来れば行列を
作ることはないのですが、残念ながら来客人数は時間によってバラバラですから
そうはなりません。また、処理時間も、ATMまで来てカードを忘れたことに気がついて
そのまま帰る人も通帳を何冊も出して方々に送金しては通帳を確認して、、、と
後ろの人たちをいらいらさせる人もいます。つまり、処理時間もバラバラです。
この人の来かたをポアソン分布、処理時間を指数分布と仮定して待ち人数や
待ち時間を計算するのが待ち行列ですね。(どちらも本質は同じ）
処理時間が来客数を越えていても行列を作ってしまいます。
キーワードはバラバラ(ランダム)ということです。

No.2 回答者： gungnir7 回答日時： 2007/03/16 22:45

あなたの言い分は正しいです。

でも、それはある一点を基準に定めた場合ですね。

今、患者さんが３人待ってます。一人当たり１０分かかるとして
平均８分間隔で患者が来れば後から来た患者は何分待つか。
あなたの推理されるように単純な足し算引き算です。

ところが待ち行列の観点は統計学です。
患者数は時間帯によってはバラバラになります。
それでどうしましょうかと考えるのが待ち行列理論の大切なところです。

想定された待ち行列に対して、ではATMは５台置きましょうとか、
医者の場合は10分では行列ができるので５分にしましょうか
というように流動的に考えることになります。
２センテンス目の単純な足し算引き算では理想のATMの設置台数など
求めることができないのはお分かりでしょう。

待ち行列が重要なのは主にコンピュータシステムにおいてです。
先の医者の例のように人間は混んできたらどうしようかなどは
考えるまでもなく臨機応変に対応できます。

しかし、コンピュータの場合はそうはいきません。
特にネットワークのトラフィックなんかは目で追えるものではないので
こういった理論を応用しないことには滅茶苦茶になります。

No.1 回答者： noname#58440 回答日時： 2007/03/16 21:54

　

グラフが線型になるには下記の条件が必要
一人が行列から出ていく時間と、新たに一人が行列に加わる時間が一定で等しい。
つまり、一人が出て行った瞬間に次の人が加わる場合だけ線型になる。

しかし、現実は出ていく人の時間間隔は一定でないし、列に加わる人の来る間隔も一定ではないから、比線型になります。