⊂と⊆の違い

今数学の勉強をしています。
初歩的な質問ですが、

Ａ⊆Ｂ
と
Ａ⊂Ｂ

は意味が違うのですか？
本等による記載方法の違いなのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2008/01/17 23:16

⊆と⊂は同じ意味です。

A≠B、すなわち、AがBに真に含まれるということを書きたい場合は、
⊂の下に≠を付けた記号で表します。
（ここでは文字化けして出せない。棒は一本でも二本でも同じ意味です。）

U(x)がxの近傍といった場合、xを含む開集合のことなので、U(x)=Aでも
構わないということになります。
Aが開集合とは、A内の任意のxに対する、ある近傍U(x)がAに含まれる
ということですので、U(x)としてAが取れることがわかれば、Aは即
開集合といえます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すべての疑問がすっきりしました。
とても分かりやすく説明していただいて本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/01/17 23:33

No.6 回答者： nobinobita1980 回答日時： 2008/01/17 23:31

ANo.4さんのおっしゃる通りだと思います。

この回答へのお礼

ご丁寧に、ありがとうございました。

お礼日時：2008/01/17 23:35

No.5 回答者： nobinobita1980 回答日時： 2008/01/17 23:26

こんばんは。

ANo.1の補足にある（1）と（2）が気になったのですが、
“x∈Ａ”（xはＡの真部分集合）ということなので
（1）も（2）も“ε近傍”で考えると“ＡはＸの開集合である”と言えるのではないでしょうか。
（どちらも焦点は開集合にあるのでこの場合⊆でも⊂でも話は通ります。ANo.1さんの言う文脈とはそういうことだと思います。）

⊂と⊆は今回の（1）と（2）のように同じ意味のように見えることもありますが、⊆と⊂は違います。

Ａ⊆Ｂ　は　AはBの部分集合　ですが
Ａ⊂Ｂ　が　AはBの真部分集合　です。

この回答へのお礼

ご丁寧に、ありがとうございました。
もう少し勉強します☆！

お礼日時：2008/01/17 23:35

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/01/17 23:04

koku_uさんが仰ってることですべてです．

>本等による記載方法の違いなのでしょうか？
それだけです．

>⊂の場合は、Ａ≠Ｂの場合もありうることを示していて、
>⊆の場合は、Ａ≠Ｂの場合はないことを示しているのではないのですか？

これは明らかに勘違いしています．
⊆の場合はA=Bも許容します．
そして，⊂の場合は微妙ですが，普通はA=Bも許容します．
例外的なケースとして，⊂はA=Bのケースを排除しますが，
この場合はほとんどありません．

文脈で判断しなければいけませんが，
⊆，⊂を混在させたり，違う意味で用いている本は
個人的には信用できません．
一般的には両者は同義で使われ，
等しい場合を排除したければ，誤解をさけるためにも
明示されることが多いです．

この回答へのお礼

ありがとうございます。
とてもすっきり解決することができました。

お礼日時：2008/01/17 23:32

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/17 22:22

>Ｕ(x)＝Ａなのですか？

まったくご理解いただけなかったようですね。
A ⊂ B なる言明は A = B の場合も含むということです。

補足の内容を常識的に読めば、両者の包含記号が同じ意味で用いられていることは明らかです。
それが文脈から読み取るということです。

この回答への補足

ありがとうございます。
質問の仕方がいけませんでした。

⊂も⊆も、意味として
Ａ＝Ｂの場合も含んでいることはわかりました。

ただ、今疑問に思っていることは、

⊂の場合は、Ａ≠Ｂの場合もありうることを示していて、
⊆の場合は、Ａ≠Ｂの場合はないことを示しているのではないのですか？

ということなんです。

補足日時：2008/01/17 22:29

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2008/01/17 22:42

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/17 21:48

文脈によって決まりますが、大抵同じ意味です。

(もちろん、A = B の場合を含む)

この回答への補足

開集合の定義を勉強していたのですが、私はＵ(x)≠Ａであると思っていたのですが、
※　Ｕ(x)：xのε近傍

ある本には、

ある全体集合Ｘの部分集合Ａが開集合である条件に、
(1)「x∈Ａおいて、Ｕ(x)⊆Ａを満たすxのε近傍が存在するとき、ＡはＸの開集合である」

と書いてあるのに、また別の本には

(2)「x∈Ａおいて、Ｕ(x)⊂Ａを満たすxのε近傍が存在するとき、ＡはＸの開集合である」

と書いてありました。
Ｕ(x)＝Ａなのですか？

補足日時：2008/01/17 21:57

この回答へのお礼

すぐの回答ありがとうございます☆！

お礼日時：2008/01/17 22:07