対数の計算

log2 3=a log3 7=bのときlog14 56をa,bであらわせという問題なんですが。

logのすぐ右の値が違うときってどうやるんでしょうか＞＜
底の変換をするにしてもどの値にあわせればいいのかわかりませんし；；
どなたか教えてくださいヽ(;´Д｀)ノ

No.1 ベストアンサー 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/02/21 23:01

ａ＞０，ａ≠１，ｂ＞０，ｂ≠１，Ｍ＞０　のとき，

公式　logaＭ＝logbＭ/logbａ　があります。　

No.7 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/02/22 02:52

皆さんが書かれている「底の変換」については、必ず教科書を確認してください。

その上で、じゃあ、底を何にそろえて計算を進めればいいのかと言うと…
その点を考える必要は無いんです。

logの底を何かひとつの値にそろえたとして、そのlogをLogと書くことにしましょう。
Logの底は、10でも、eでも、2でも、他の何でもかまいません。ともかく何かに統一したとする。

底の変換の式から、
a = (log2 3) = (Log 3) / (Log 2)
b = (log3 7) = (Log 7) / (Log 3)

(log14 56) = (Log 56) / (Log 14)
= { Log (2×2×2×7) } / { Log (2×7) }
= { 3 (Log 2) + (Log 7) } / { (Log 2) + (Log 7) }
です。

後は、これらの式から(Log 2)、(Log 3)、(Log 7)を消すだけ。
(Log 2) = (Log 3) / a
(Log 7) = (Log 3) b
を(log14 56)の式に代入すれば、(Log 3)も消えて、aとbの入った式になります。

最初にLogの底を2か、3か、7かにしておけば、途中の計算は楽になりますが、
そのような上手い底を見つけることが重要なのではないと思います。

No.6 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/02/21 23:25

log14５６＝log14(１４・４)＝log14１４＋log14４

＝１＋log2４/log2１４＝１＋２/(log2２＋log2７)
＝１＋２/(１＋log3７/log3２)
＝１＋２/{１＋ｂ/(log2２/log2３)}
＝１＋２/(１＋ａｂ)

No.5 回答者： ertyerty3 回答日時： 2008/02/21 23:23

与えられている値をよく観察してみてください。

大抵うまくはまるようになってます。

底が２⇒２の累乗なら整数になる。
底が３⇒３の累乗なら整数になる。
まず予備知識としてこれがあるでしょう。

それを踏まえてlog14 56を見ます。
14も56も素因数に３は入っていないので、
底は２で揃えると楽そうだと予想できます。
底の変換をしてみてください。

底を２で揃えたら、真数を素因数分解して、
整数にすることを考えるんですよ。
(1+log2 7)/(3+log2 7)　というように、
分子分母にlog2 7が出てきました。

じゃあlog2 7をa,bで表せたら終わりですね。

与えられているものに、７という数字が入っているのは
log3 7=b　の方ですね。
今、log2 7を作りたいのだから、
底を２で揃えます。
そうすれば分子にlog2 7ができるでしょう。
分母はlog2 3になります。
これ、aのことです。

あとはできますね？

No.4 回答者： info22 回答日時： 2008/02/21 23:08

2または3のどちらでもOKです。

全部2にするとして
底の変換を行って簡単にして下さい。

log_2 7 が出てきますので
=(log_3 7)*(log_2 3)=ba
とすれば良いでしょう。

上記では公式
log_p q=1/log_q p
を使っています。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/21 23:08

こんばんは。

log14の５６　＝　log★の５６　÷　log★の１４
という公式があります。
底（★）は、何でも好きな数字を入れることができます・・・
・・・ということは、ご存知なのでしょうね。

まずは、★に入る数字を決めないで進めてみましょう。

底を書くのが面倒なので、★を省略しますね。

log14の５６　＝　log５６　÷　log１４
　＝　log（８×７）　÷　log（２×７）
　＝　log（２^3 ×７）　÷　log（２×７）
　＝　（３log２　＋　log７）／（log２　＋　log７）
ここで　★＝３　にすれば、ｂを利用することができ、
　＝　（３log3の２　＋　ｂ）／（log3の２　＋　ｂ）

さらに、ここで、
log3の２　＝　log☆の２　÷　log☆の３
と置けば、☆＝２　にすれば、ａを利用することができ、
　＝　log２の２　÷　ａ
　＝　１　÷　ａ

よって、
log14の５６　＝　（３log3の２　＋　ｂ）／（log3の２　＋　ｂ）
　＝　（３×１／ａ　＋　ｂ）／（１／ａ　＋　ｂ）
　＝　（３　＋　ａｂ）／（１　＋　ａｂ）


計算間違いがあるかもしれないので、検算してください。

No.2 回答者： hiro1122 回答日時： 2008/02/21 23:06

対数の問題では底を統一するのが基本です。

ということで、与えられたlog3 7を底２に変換してみますと
log3 7＝log2 7/log2 3
これより　log2 7＝log2 3×log3 7＝ab
となり、準備完了です。
log14 56＝log2 56/log2 14
＝（log2 7+log2 8)/(log2 2+log2 7)
＝(ab+3)/(1+ab)
という感じであらわせます。＾＾