
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
大変失礼しました。質問は隣接2項間はεで抑えられるが、コーシー列にはならない例ですね。コーシー列にならない例だけを質問しているのかと勘違いしていました。さて、改めて質問についてですが、調和級数の和の例は#2さんがヒントを挙げているので、私は別の例を挙げたいと思います。
たとえば、x_(n)=log(n) を考えてみてはどうでしょうか?
隣接2項間は
|x_(n-1)-x_n|=|log(n-1)-log(n)|=|log(1-1/n)|
でn→∞にすると|log(1-1/n)|→0となりますから、任意のε>0で抑えられます。しかし、log(n)→∞(n→∞)ですから、コーシー列とはなりません。
No.4
- 回答日時:
>調和級数の和の例の他も考えいていたので・・・
調和級数の和も対数も、例としてはほとんど同じですね。
それ以外にもいくらでもあるんではないですか。たとえば、
x_(n)=√n
はどうですか。
No.2
- 回答日時:
>ですから収束しない数列の例を挙げれば、それがコーシー列ではない例となります。
隣接項の差の絶対値がεでおさえられるという条件は?
ヒントだけ:
もし,そういう数列があったとしたら,
その数列は有界ではないと考えられる.
なぜなら,有界な数列には有限個の集積点が存在し,
その集積点に収束する部分列が存在する.
したがって,隣接する項の距離が常にεで抑えられるとは思えない.
したがって,有界ではなく収束もせず,
かつ隣接する項の距離が0に収束する列を考えればよい.
例えば,無限大に発散する「級数」で
どんどん小さくなる項を
足していくもので有名なのがある.
ヒントありがとうございます!!
その有名なもの、参考書にのっていて
見たのですが、論理式ばかりで書かれていていまいち理解できなかったのですが、
kabaokabaさんのヒントの説明で理解できました!
ありがとうございます。
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