全６種類のおまけが付いたお菓子は何個買えばコンプリートするか

全６種類のおまけが付いたお菓子は、
何個買えばコンプリートするか。

おまけは何がついているのか見えません。商品に偏りがないと仮定してください。商品を大人買いするしかないわけですが、お菓子が１００円だとしたら、、、よく考えたのですが、これは絶対的な数値にならないと思いますが、いくらぐらいが相場になるのでしょうか。全部で６個だと最低６回は買わないとダメなので、６００円はかかるわけですよね。

で、

６分の６×
６分の５×
６分の４×
６分の３×
６分の２×
６分の１で、、、０．０１５４で、６００円で当たる可能性は、１．５％であっていますよね？７個とか８個とか…考えるとわけがわからなくなってきます。５０パーセントで平均値ですよね。何個買えばいいのでしょうか。

全１２種類とか全２４種類とか、コレクターにとっては嫌味な商品が色々とあるのですが、全部そろえるのにいくらぐらいかかるのか分かったらいいなーと思うのですが。。数Iとか数IIの確率論とか調べましたが、なんだか分かりませんでしたm(_ _)mよろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/06 00:16

＃１さんがすでに答えていらっしゃいますが、

いわゆる
クーポン収集問題＝coupon collector's problem
です。

これは条件付き期待値の和を考えます
１種類目を揃えるまでには１個買えばいい
１種類目が揃ったという条件下において，お菓子を１個買うとき，それがまだ持っていないおまけである確率は5/6なので，２種類目のおまけを引き当てるまでに買うお菓子の個数の期待値は6/5
２種類目が揃ったという条件下において，お菓子を１個買うとき，それがまだ持っていないおまけである確率は4/6なので，３種類目のおまけを引き当てるまでに買うお菓子の個数の期待値は4/6
…

以上より
１＋６／５＋６／４＋６／３＋６／２＋６＝１４．７

つまり約１５個買えばいいことになります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

分数の足し算で求められるのですね…大変勉強になりました。

お礼日時：2009/02/10 06:39

No.4 回答者： chie65535 回答日時： 2009/02/06 14:17

プログラムで「１～６の乱数を繰り返して出して、何回目に１～６が全部揃うか？」を100000回試してみました。

99979回目は 9個。平均14.706498
99980回目は17個。平均14.706521
99981回目は44個。平均14.706814
99982回目は23個。平均14.706897
99983回目は10個。平均14.706850
99984回目は13個。平均14.706833
99985回目は12個。平均14.706806
99986回目は 9個。平均14.706749
99987回目は22個。平均14.706822
99988回目は 9個。平均14.706765
99989回目は18個。平均14.706798
99990回目は14個。平均14.706791
99991回目は12個。平均14.706764
99992回目は22個。平均14.706837
99993回目は10個。平均14.706789
99994回目は13個。平均14.706772
99995回目は21個。平均14.706835
99996回目は13個。平均14.706818
99997回目は26個。平均14.706931
99998回目は10個。平均14.706884
99999回目は16個。平均14.706897
100000回目は15個。平均14.706900
最低 6個、最高81個

結果、平均は14.7個くらいになりました。期待値にかなり近いです。

＞５０パーセントで平均値ですよね。

「平均値を超えれば、揃う確率が５０％を超える」と言うだけです。

最低回数は６個で、ダブリ無しでコンプリートです。

最高回数は８１個で、８０個までダブリ続け、８１個目にやっとコンプリートしました。

＞何個買えばいいのでしょうか。

テストした結果から導ける「何個買えば確実に揃うか？」の回答は「揃う時は６個で揃うが、揃わない時は８０個買っても揃わない」です。

今回は100000回の試行ですが、もっと繰り返すと「２００個買っても揃わない」と言う結果も出て来るかも知れません。

なので、確実に言えるのは「何個買っても揃わない時は揃わない」です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

１０万人いたら８１個買ってもそろわないヒトがいるというのは恐ろしいですね…。

お礼日時：2009/02/10 06:42

No.2 回答者： mojitto 回答日時： 2009/02/06 00:05

この問題は「サイコロを振って１～６までの全ての目が出るためには、何回振らないといけないか」と同じことですね。

でも例えば１００回振り続けても「２」の目が出ないことも、理論上は起こりえます。

で、確実（１００％）にコンプリートさせたい場合は、例えば各おまけのついたお菓子をそれぞれ１０万個ずつ、計６０万個出荷された場合なら、５００００１個買えば、可能です。

とはいえ、１００個でもコンプリートは（ほぼ１００％）可能でしょうし、確率何％をもって良しとするか、そこがわからないと答えようがないと思います。

この回答へのお礼

そうですね…確実性という観点からは、
そういう計算になりますね。

お礼日時：2009/02/10 06:38

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/02/05 23:55

いわゆる「クーポン収集問題」ですね. n種類を全てそろえるための期待値はほぼ n ln n (ln は自然対数) になります.

n=6 でだいたい 10. 75 くらい, n=12 だと29.8, n=24 で 76.3, n=48 では 185.8 といった感じ.

この回答へのお礼

なるほど。っていうことは、１０個買って全部そろったら運が良い方（５０パーセント以上）ってことですね。ありがとうございました。

お礼日時：2009/02/06 00:30