
λ∈Cに対して次のような複素n次正方行列N, J[λ](n)を考えます。
Nは、1行2列目、2行3列目、3行4列目、……、(n-1)行n列目の成分が全て1になっていて、残りの成分が全て0の行列です。(つまり単位行列の対角成分を右に一個ずつずらした感じです)
J[λ](n)は、対角成分が全てλで、1行2列目、2行3列目、3行4列目、……、(n-1)行n列目の成分が全て1になっていて、残りの成分は全て0の行列です。
したがって、J[λ](n)=λE+N が成り立ちます。それで、k≧nという条件の下で、J[λ](n)のk乗を求めたい場合、
{J[λ](n)}^k=Σ【r=0→k】kCr(λE)^(k-r)*N^r となりますが、このときの1行n列目の成分がどうなるのかわからないので教えてください。
たぶん、kC(k-n)*λ^nか、kC(n-1)*λ^(k-n+1)のどちらかだと思います。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Nは冪零。
N^(n-1)が右上隅(1行n列目)だけ1で他が0であるような行列で、N^n=0となる。
つまり、N^(n-1)のとこの係数を見れば良くて、
・k<n-1のとき、そもそもN^(n-1)が現れないので0
・k≧n-1のとき、N^(n-1)の係数kCn-1*λ^(k-n+1)
で、今もちろんk≧nなので、後者だ。
kC(k-n)*λ^nがどっから出てきたのか分からんが、まぁそういうことだ。
ジョルダン標準系の何が嬉しいって、べき乗を求めるときに冪零Nのおかげで
有限和で書けることだ。Σ[r=0~k]って書いてるが、今の場合k≧nが保障されてるので、
n次以降は全て0で消えてって、実質Σ[r=0~n-1]なんだよね。
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