4桁の自然数について説明しなさい。

各位の数の和が９の倍数である正の整数は、９の倍数である。このことがらが成り立つことを、４けたの自然数について説明しなさい。（千の位、百の位、十の位、一の位をそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとしなさい）と言う問題ですが、実は弟の聞かれてやってみましたがさっぱり・・わかりませんでした。何方か助けてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/02/15 00:27

こんばんは。

千の位、百の位、十の位、一の位をそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとしなさい
↓
数　＝　１０００ａ　＋　１００ｂ　＋　１０ｃ　＋　ｄ
　＝　（９９９ａ　＋　ａ）　＋　（９９ｂ　＋ｂ）　＋　（９ｃ　＋　ｃ）　＋　ｄ
　＝　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）　＋　（９９９ａ　＋　９９ｂ　＋　９ｂ）
　＝　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）　＋　９（１１１ａ　＋　１１ｂ　＋　ｂ）
　＝　（各桁の合計）　＋　（９の倍数）

したがって、各桁の合計が９の倍数であれば、
数　＝　（各桁の合計）　＋　（９の倍数）
　＝　（９の倍数その２）　＋　（９の倍数）
　＝　（９の倍数その３）

この回答へのお礼

ありがとう！！
助かりました。これで、弟に説明させていただきます

お礼日時：2010/02/15 01:05

No.6 回答者： okazakicon 回答日時： 2010/02/15 00:37

4桁の自然数は、

　1000a＋100b＋10c＋d

と表される。

　1000a＋100b＋10c＋d=(999＋1)a＋(99＋1)b＋(9＋1)c＋d
= (999a＋a)＋(99b＋b)＋(9c＋c)＋d
= 9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d)

と変形できる。

9(111a＋11b＋c)部分は、a, b, cがどんな自然数であっても9で割り切れる。よって元の4桁の自然数が9で割り切れるか（9の倍数であるか）の判断は、a, b, c, dの和が9の倍数であるか否かによる。

つまり、各位の数の和が9の倍数ならば、その自然数は9の倍数である。
　
　

この回答へのお礼

ありがとう！！
助かりました。これで、弟に説明させていただきます

お礼日時：2010/02/15 01:10

No.5 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/02/15 00:32

こんばんは　かな？

そんなに難しく考えなくて好いですよ　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

ａｂｃｄ　が４桁の自然数ですね。（ちょっとＡとおきますね）

こんな風に、桁上がりをそのままやってあげます。

Ａ＝１０００×ａ　＋　１００×ｂ　＋　１０×ｃ　＋　ｄ　ですね

＝（９９９＋１）×ａ　＋　（９９＋１）×ｂ　＋　（９＋１）×ｃ　＋ｄ

＝９（１１１ａ＋１１ｂ＋ｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）　となりますね♪
　～～～～～～～～～～　←は９の倍数ですね（９で割り切れます）

よって、残りの部分（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）が９で割れれば、Ａは９で割り切れます。
ついでに、このままで「３で割り切れる」のも証明できます。

この回答へのお礼

ありがとう！！
助かりました。これで、弟に説明させていただきます

お礼日時：2010/02/15 01:09

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2010/02/15 00:30

Ｎｏ．２の者ですが、文字の書き間違いを下記の通り訂正します。

（一部、ｃをｂと書いてしまっていました。）

数　＝　１０００ａ　＋　１００ｂ　＋　１０ｃ　＋　ｄ
　＝　（９９９ａ　＋　ａ）　＋　（９９ｂ　＋ｂ）　＋　（９ｃ　＋　ｃ）　＋　ｄ
　＝　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）　＋　（９９９ａ　＋　９９ｂ　＋　９ｃ）
　＝　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）　＋　９（１１１ａ　＋　１１ｂ　＋　ｃ）
　＝　（各桁の合計）　＋　（９の倍数）

この回答へのお礼

ありがとう！！
助かりました。これで、弟に説明させていただきます

お礼日時：2010/02/15 01:06

No.3 回答者： ok-kaneto 回答日時： 2010/02/15 00:28

1000の位の数をa，100の位の数をb，10の位の数をc，1の位の数をd とすると，もとの自然数はＮ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d となります。

　ところで，1000＝9×111＋1，100＝9×11＋1，10＝9×1＋1ですから，

N ＝(9×111＋1)a ＋(9×11＋1)b ＋(9×1＋1)c ＋d
　＝9×111×a ＋9×11×b ＋9×1×c ＋(a ＋b ＋c ＋d)
　＝9×(111×a ＋11×b ＋1×c) ＋(a ＋b ＋c ＋d)

9×(111×a ＋11×b ＋1×c) は9の倍数になってますから，a ＋b ＋c ＋d が9の倍数であると，Ｎが9の倍数になる（逆にいえば、Ｎが9の倍数であれば、a ＋b ＋c ＋d が9の倍数である）ことが分かります。

この回答へのお礼

ありがとう！！
助かりました。これで、弟に説明させていただきます。

お礼日時：2010/02/15 01:04

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/15 00:26

10 を 9 で割ったら余りは 1.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/15 01:11