＝と≡の違い

こんにちは！
現在、某大学の情報科に通う大学生です。情報科学の授業を受け始め、集合論を勉強しているのですが、集合で使う=(例：A={1,2,3})と≡(例：φ≡{　},B≡{x;xは実数})の違いがよくわかりません。どっちの記号も同じ気がするのです！だからどの場面でどちらの記号を使っていいのかわかりません。教科書にはこのように書いてあったのですが、先生が黒板に書いたのは(A≡{1,2,3})だったのです。なんかわけがわからなくなりました。違いを教えてください。よろしくお願いしますm(_ _)m

No.3 回答者： zenin 回答日時： 2012/06/20 14:27

数学に於ける記号＝、≡には明確な違いがあります。

＝は本来そのもので例えば定義等に用いられます。通常A=Bならば（条件は少しありますが）AのところをBで置き換えても
同じになります。
それに対し、≡は似たようなものですがそのものではありません。A＝B　⇒　A≡Bは成立しますが　逆のA≡B　⇒　A=Bは成立するとはかぎりません。

例1　p⇒qの対偶、≡　p⇒qですが　　p⇒qの対偶、＝　p⇒q　は成り立ちません　（　p⇒qの対偶、＝　(￢q)⇒(￢p)ですが　）勿論　(￢q)⇒(￢p)、≡　p⇒q　ですが　(￢q)⇒(￢p)、＝　p⇒q　ではありません。（大学入試センターはこのことが分かっていません。なさけない限りです。）

例２　長方形ABCDの対角線ACをひく。
△ABC＝△ABCであり△ABC≡△CDAであるが　△CDA∪△ABCは長方形ABCDCではあるが　
△CDA∪△CDA＝△CDAで長方形ABCDとはならない（△ABC＝△CDA　ではないから）　

＝は非常に強い条件ですが、間違った使い方度々なされます。

例えば不定積分　∫2x　dx　＝　x＾2　　　∫2x　dx　＝　x＾2　+1　　従って　x＾2＝　∫2x　dx　＝　x＾2　+1
故に0＝1　　　　　ここでは＝ではなく　≡　を使うべきであるとおもいます。

また余談ですが　△ABC≡△CDA⇒△ABC＝△CDA　の連想で≡のほうが＝より強いと考え変数の入った式でいつでも＝、を表すのに使用する人がかなりいますが、上記の⇒は正確にはメタのならばであり⇒と書くのは間違いです。
左辺の≡は幾何学の図形のシステムの話　右辺の＝は数（又は面積）のシステムの話で異なり、システムを同一化してはなりません。
同じものを見ても見る立場によって異なります。

No.2 回答者： tanakarakusamoti 回答日時： 2010/04/19 11:27

「Aを　A=B　により定める。

」とか
「A=B　とおく。」とかいう表現に相当するものが

「A≡B」です。
従って、＝と≡は別物です。


数学的なお話の最初に
≡を用いて　「A≡{1,2,3}」
もしくは＝を用いて　「A={1,2,3}とおく。」
と書いてあったら、読み手は
「これはこの先の話の前提となるものなんだな。頭の片隅に入れておこう。」
と思いますが、「A={1,2,3}」とだけ書いてあったら、読み手は
「どこからこれが導き出されたんだろう。」
と不思議に思います。

No.1 回答者： tanakarakusamoti 回答日時： 2010/04/18 16:11

A＝B

の和訳は「AとBは等しい」

A≡B
の和訳は「AをBで定義する」
この記号は数学的なお話の前提を作るときによく使われます．

集合論よりも大きなくくりの，一般的な数学の話です．
数学的な議論をする時に「＝」は議論の途中で何回も出てくると思いますが，
「≡」は議論の最初の方にしか出てこないと思います．

この回答への補足

回答ありがとうございます！
では=を使うのが一般的なのですか？
AUB={x;xは実数｝でもいいのですか？よろしくお願いします。

補足日時：2010/04/18 16:29