A 回答 (7件)
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No.5
- 回答日時:
命題論理による説明でよいはずですが,述語論理による説明をご所望かも
知れませんので,P,Qの代わりに Px, Qx を用いて説明します.
Px である x の集合を A, Qx である x の集合を B とします.
A ⊂ B であれば「∀x, Px ⇒ Qx」,「∀x, ¬ Qx ⇒ ¬ Px」です.
「∀x, Px ⇒ Qx」が偽(A ⊂ B でない)のときは「∃x, ¬Px ∧ Qx」
で A の一部(全部でもよい)が B からはみ出ています.
「∀x, ¬ Qx ⇒ ¬ Px」が偽のときも「∃x, Qx ∧ ¬Px」で A,B の
関係は等しくなります.したがって元の命題が偽なら対偶も偽.
注1:{¬∀x, Px}⇔{∃x, ¬Px}
注2:単に『「Px ⇒ Qx」が偽のとき 』では証明できません.
また「{∀x, Px} ⇒ {∀x, Qx}」の対偶なら真理値表で十分.
No.4
- 回答日時:
ANo.3 のお答えでいいのですが,補足しますと「P → Q」とは
「~P + Q」((not P) or Q) のことです.つまり,記号論理学では
P が偽であれば Q に関係なく P→Q を真と考えます.
蛇足ですが,真理値表は
P Q P→Q ~Q→~P
F F T+F=T F+T=T
F T T+T=T T+T=T
T F F+F=F F+F=F
T T F+T=T T+F=T
No.3
- 回答日時:
「P→Q」と「~Q→~P」の2つの真理値表をつくり、
それぞれの真偽が一致していることを示せば、証明になります。
「~P」はPの否定で「Pでない」を意味します。
No.2
- 回答日時:
「PならばQ」の真偽もその対偶の「QでないならばPでない」の真偽も、PとQの真偽によって決まる。
考えられる組み合わせは
P=真 , Q=真
P=真 , Q=偽
P=偽 , Q=真
P=偽 , Q=偽
の4通りしかない。
「PならばQ」の真理値表と「QでないならばPでない」の真理値表を並べて書けばよい。
並べて書いてみて、「PならばQ」が偽のときに「QでないならばPでない」も偽になっているか確かめればよい。
たったの4通りしかないので全ての場合をチェックすることは簡単。それで証明になる。
No.1
- 回答日時:
「PならばQ」が偽
なので
”ならば”の定義より、
Pは真であるのにQが偽である。
P…真 Q…偽 …(1)
さて「PならばQ」の対偶は「QでないならばPでない」
(1)より、
Q…偽
なので、与えられた命題の対偶が真ならば
P…偽
でなければならないが同様に(1)より
P…真
よって
命題「PならばQ」が偽のとき、その対偶「QでないならばPでない」も偽。
もう長い間こういう問題といてないので、言葉づかい、組み立て方を忘れましたが、内容はこういうことです。
失礼しました。
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