以前も質問させていただいたのですが、赤線部がわからないです。 赤線部は0=min{c-a,b-c}と

以前も質問させていただいたのですが、赤線部がわからないです。
赤線部は0=min{c-a,b-c}とおいて0<δ≦δ0ということから写真の命題1-2(ii)と同じ形にすることで命題1-3(ii)を証明していると思うのですが、なぜδ0=min{c-a,b-c}とすることができるのでしょうか？例えばa=50,b=100,c=55,δ=10のときδ0=5ですが、δ=10よりδ≦δ0とならないのになぜ赤線部のようにδ0=min{c-a,b-c}とすることができるのでしょうか？確かにδというのはx=c 付近を考えることかδは限りなく小さい値に絞って考えますか？εが大きいときはもちろん大きいδでも0<|x-c|<δを満たしますよね。なぜδ0=min{c-a,b-c}とできるのか解説おねがいします。
写真 https://d.kuku.lu/wzzrhrcac

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/23 06:03

画像の通り

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/22 16:45

命題1-2(ii)

から
命題1-3(ii)
を
証明するときは

命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在するといっているのだから
δ≦δ0とならないことはありえないのです
0<δ≦δ0は証明すべきことではなく条件なのです

0<δ≦δ0
が成り立つ条件の下で

命題1-3(ii)の
x∈I/{c}
が成り立つ事を証明するのです

0<δ≦δ0
が成り立つ条件の下で

命題1-3(ii)の
x∈I/{c}
が成り立つ事を証明するために

δ0=min{c-a,b-c}
とするのです

δ0=min{c-a,b-c}
とできるのは

命題1.2(ii)

指定したδ0に対して

0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
から

δ0=min{c-a,b-c}
とできるのです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/22 09:50

赤線部はδ0=min{c-a,b-c}とおいて0<δ≦δ0ということから写真の命題1-2(ii)と同じ形にすることで命題1-3(ii)を証明しているのではありません

赤線部はδ0=min{c-a,b-c}とおいて
命題1-2(ii)が成り立つならば0<δ≦δ0ということから
命題1-3(ii)の
0<|x-c|<δならば
x∈I/{c}
が成り立つから
命題1-3(ii)を証明しているのです

変数を決める順序が
C,f,A,a,b,c,ε0>0,δ0>0 を決めてから

任意のε>0を決めてから

δが決まり

最後に
xが決まる
となっているから

δが決める前にδ0を決めるから

δ0=min{c-a,b-c}とすることができるのです

命題1-2(ii)は
決められた
δ0に対して

0<δ≦δ0
となるような

δが存在するといっているのだから

変数を決める順序は

δよりもδ0を先にきめなければいけないのです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/22 05:01

訂正します

②命題2(ii)の「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」の部分と
命題3(ii)の「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす｣の2つについててすが、
この2つは結局、｢0<|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす｣
と読み替えてはいけない

δ0=min{c-a,b-c}
とするから

命題2(ii)
「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ≦δ0
となるような
δが存在する
ならば

0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min(b-c,c-a)
だから
a<x<c.or.c<x<b
だから
x∈I-{c}=(a,b)-{c}
が成り立つから

命題3(ii)
「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす｣
0<δ
となるような
δが存在する
と

命題2(ii)から命題3(ii)がいえるのです

δ0=min{c-a,b-c}
が
なければ

命題2(ii)
「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ≦δ0
となるような
δが存在しても

0<|x-c|<δ
であっても

x∈I/{c}となるとは限らないから

「
0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす
」
がいえないから

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するとはいえない

x∈I/{c}が成り立つようにするために
δ0=min(b-c,c-a)が必要なのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/21 19:09

命題1.2(ii)

0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
から

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
を
証明する場合は

命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在するといっているのだから
δ≦δ0とならないことはありえないのです
0<δ≦δ0は証明すべきことではなく条件なのです

命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在する条件が成り立つなら

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するかを証明するのです

命題1.2(ii)から
0<δ≦δ0=min(b-c,c-a)となるδが存在するのだから

0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min(b-c,c-a)
だから
a<x<c.or.c<x<b
だから
x∈I-{c}=(a,b)-{c}
が成り立つ
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
が成り立つから
|f(x)-A|<Cεをみたす
から
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するから

命題1.3(ii)が成り立つのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/21 17:18

命題1.2(ii)

0<δ≦δ0が存在する
が
成り立つならば

命題1.3(ii)
0<δが存在する
が
無条件に成り立つのです

なんとなれば

0<δ≦δ0→0<δ

が成り立つから

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/21 16:49

命題1.2(ii)

は
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
といっているのです
だから
ε>0は無限に小さくできるのだから
ε>0が無限に小さくなればそれに応じてδの値も無限に小さくなるのです

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
といっているのです
だから
ε>0は無限に小さくできるのだから
ε>0が無限に小さくなればそれに応じてδの値も無限に小さくなるのです

命題1.2(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような

0<δ≦δ0が存在する
が成り立つ
ならば

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
が
無条件に成り立つのです


変数を決める順序は
C,f,A,a,b,c,ε0>0,δ0>0 を決めてから

任意のε>0を決めてから

δが決まり

最後に
xが決まるのです

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/21 16:32

命題1.2(ii)は

0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
といっているのです

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
といっているのです

命題1.2(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
が成り立つ
ならば

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
が
無条件に成り立つのです

変数を決める順序は
C,f,A,a,b,c,ε0>0,δ0>0 を決めてから
任意のε>0を決めてから
δが決まり
最後にxが決まるのです