数学1Aの問題集で、疑問に思うことがございまして、「√2が無理数であることを背理法を用いて示せ」いう

Question

数学1Aの問題集で、疑問に思うことがございまして、「√2が無理数であることを背理法を用いて示せ」いう問題があるのですか、問題集の解答は、
√2が有理数と仮定すると、２つの自然数n,mを用いて　√2＝n/mと表せる(ただし、ｍとｎは互いに素)。　
両方を平方すると、2ｍ^2＝n^2
左辺は偶数だから、ｎ^2も偶数。すなわち
nも偶数。このとき、n^2は４の倍数だから、2m^2も４の倍数。よって、m^2は偶数となり、ｍも偶数。
ゆえに、mとｎは共通の約数2をもつことになり、mとｎが互いに素であることに矛盾する。
よって、√2は有理数ではない。
すなわち、√2は無理数。

と書いてあるのですが、解答の途中の
n^2は４の倍数だから、2m^2も４の倍数というのは、どうしてn^2は４の倍数だと特定できるのでしょうか。
n^2&m^2が偶数なら、ｎやｍも偶数だと言い切れる理由と併せて知りたいです。
また、このような証明問題が得意な方というのは、暗記に近いパターン認識で解いているのでしょうか。アドバイスいただけると参考になります。

ありものがたり · Accepted Answer

質問の箇所のすぐ上の行に、
＞ 左辺は偶数だから、ｎ^2も偶数。
と書いてあるでしょう？ この部分は解ったのでしょうか。
n が奇数だとすると、n^2 も奇数になるので
2ｍ^2=n^2 であることに矛盾するのです。
背理法から n は偶数と判るのですが、

よって n=2k {kは整数} と置けます。
これを 2ｍ^2=n^2 へ代入すると、約分して m^2=2k^2 と書けます。
この式を見てピンときませんか？
n が偶数だと判ったのと全く同じ方法で
m は偶数だと言えるのです。

質問文中で引用された証明は、 k を持ち出すのを避けて
2ｍ^2=n^2 の式形のまま言葉で説明しようとしたために
ちょっと解りにくくなったのかもしれませんね。

ゼロプライム · Answer

[1] ｎが偶数 ⇒ ｎ²は４の倍数
n=2k (ｋは自然数) と表せるので、n²=(2k)²=4k²
よって、ｎ²は４の倍数

[2] n²が偶数⇒ｎは偶数
対偶を考えると、
ｎが奇数⇒ｎ²は奇数
n=2k+1 (ｋは自然数) と表せるので、
n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1
よって、ｎ²は奇数
対偶が真なので、もとの命題も真

tknakamuri · Answer

n^2が偶数ならn^2は素因数2を含む
n^2は同じ素因数を偶数個ずつ持つから
n^2=2^m×k (mは偶数でkは自然数)
従ってn^2は4の倍数。

八丁堀の旦那 · Answer

2ｍ^2＝n^2から、ｎ^2も偶数までは良いのでしょう。
すると、n^2は約数に2を含むことになります。n^2=n×nなのだから、2はnから来るしかありません。だから、nも偶数になります。n=2pと表せるのだから、n^2=(2p)^2=4p^2となり、n^2は4の倍数だと分かります。
m^2が偶数ならmが偶数だと言えるのは、nの場合と同じです。

証明を理解するには論理学を勉強する必要があります。むしろ、論理学を理解していないのに、数学の証明を理解した気になっている人達は、論理力が弱いと思います。証明問題のロジックが納得できないあなたは論理力があるのでしょう。

t_fumiaki · Answer

2ｍ²＝n²の先は、素因数分解の一意性を使うのが常道です。

[例：100=2×2×5×5の1通りしか無い。]
[例：30=2×3×5の1通りしか無い。]
と言うのが素因数分解の一意性で、数論の基本定理と言います。

それと、指数法則を使います。
(aⁿ×bⁿ・・・)ᵐ=aⁿ˟ᵐ×bⁿ˟ᵐ・・・・

2ｍ²でmに2と言う素因数が有ったらm=(2ⁿ×・・・)²=2²ⁿ×・・・
となりｍ²には2と言う素因数が偶数個あります。

例：[(2³・・・)²=2⁶・・・だから、2は6個掛け合わせたから偶数個。]

2ｍ²は、それに2が1個掛け算されてるから、
2ｍ²には2が奇数個。

n²には偶数個

だから=は成立たない。
と言う論法です。

kairou · Answer

＞n^2は４の倍数だから

n²=2m² ですから n² は偶数です。
偶数を二乗すれば 必ず 偶数になりますから
n も偶数です。従って n² は 4の倍数になります。
（奇数を 二乗すれば 必ず 奇数になります。）
「n^2&m^2が偶数なら、ｎやｍも偶数だと言い切れる」のも
同じ理由です。

＞暗記に近いパターン認識で解いているのでしょうか。

数学で 暗記は ごく初歩的な定義だけです。
公式などは 暗記では無く、どうしてそうなるかと云う
理解力が 問題を考える上で 必要になります。

数学1Aの問題集で、疑問に思うことがございまして、「√2が無理数であることを背理法を用いて示せ」いう

質問の箇所のすぐ上の行に、

[1] ｎが偶数 ⇒ ｎ²は４の倍数

n^2が偶数ならn^2は素因数2を含む

2ｍ^2＝n^2から、ｎ^2も偶数までは良いのでしょう。

2ｍ²＝n²の先は、素因数分解の一意性を使うのが常道です。

＞n^2は４の倍数だから

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