A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
>P⇒Qの反例を上げた場合、P∩¬Qとなりますよね?
P->Q は (¬P)∨Q だからその否定は P∧(¬Q)です。
ド・モルガンの定理
>反例が成立した時に、¬P⇒¬Q(もしくはその待遇で
>あるQ⇒P)は成立するのですか?
恒真命題ではないと分かった命題から何を推論しようとしても
無駄かと。
No.5
- 回答日時:
> P⇒Qの反例
なんてものはそもそもありません。「反例」という概念(言葉)が意味を持つのは、述語論理における
∀x R(x)
すなわち、「任意のxについて、R(x)である。」という形の命題においてだけです。そして、この命題の「反例」とは「 R(a)が偽であるようなa」のことです。
述語R(x)がP(x)⇒Q(x)という構造になっている場合に限っても同じことで、
∀x (P(x)⇒Q(x))
の反例は、「P(a)⇒Q(a)が偽であるようなa」です。P(a)⇒Q(a)を言い換えれば ¬(P(a)∧(¬Q(a)))ですので、「P(a)⇒Q(a)が偽」は「P(a)∧(¬Q(a))」と同義です。つまり「P(a)が真で、かつ、Q(a)が偽であるようなa」ってことですね。
なお、
> 反例が成立
がどういう意味なのかはわかりかねますが、
∀x (P(x)⇒Q(x))
の反例aが見つかった場合、というオツモリなのだろうと考えることにして、
> ¬P⇒¬Q(もしくはその待遇であるQ⇒P)は成立するのですか?
(「待遇」を「対偶」と読み替えたとして、)そんなことは言えません。
例えば命題
∀x (xは素数である ⇒ xは奇数である)
の反例として、 反例 x = 2 が挙げられます。これは命題
∃x (xは素数である ∧ ¬(xは奇数である)) 「素数であって、かつ奇数でないxが存在する」
が真だと証明している。だから、この命題の否定である命題
∀x (xは素数である ⇒ xは奇数である)
が偽であることの証明になっているわけです。
しかし、
∀x (xは奇数でない ⇒ xは素数でない)
も
∀x (xは奇数である ⇒ xは素数である)
も
∀x (xは素数でない ⇒ xは奇数でない)
も偽です。
No.4
- 回答日時:
P⇒Q
のP,Qは何ですか?
「反例」というからには条件であって、正確には
すべてのxについて、P(x)⇒Q(x)
(記号で書けば ∀x(P(x)⇒Q(x))
の反例、のことでしょう。つまり、
P(a)∧¬Q(a)
を満たすaが反例です。
このaについて、
P(a)が真だから¬P(a)は偽なので、
¬P(a)⇒¬Q(a)は成り立ちます(¬P(a)⇒任意の命題 も成り立ちます)。
同様に、Q(a)が偽だから、
Q(a)⇒P(a)
も成り立ちます。
ここのP(a)とかQ(a)はP(x)やQ(x)のxにaを代入した命題であって、条件ではありません。
一方、P,Qが条件の時、高校数学で
¬P⇒¬Q
と書けば、これは
すべてのxについて (¬P(x)⇒¬Q(x))
の意味であり、こちらは成立するとは限りません。
mtrajcpさんの例なら、
2が3の倍数である⇒ 2は2の倍数である
は正しい命題です(仮定「2は3の倍数である」は偽だし、結論も真だから)が、
すべての整数xについて、xが3の倍数⇒xは2の倍数
は誤りです。
No.3
- 回答日時:
P=[xは2の倍数である]
Q=[xは3の倍数である]
とすると
P⇒Q
の反例は
x=2
P∩¬Q
は
P⇒Qの否定
¬P⇒¬Q(もしくはその対偶であるQ⇒P)
の反例は
x=3
だから
¬P⇒¬Q
も
Q⇒P
も
成立しない
No.1
- 回答日時:
P∩¬Q は P⇒Q の「否定」であって「反例」ではありません。
述語 P(x) または命題 ∀x,P(x) の「反例」とは、
¬P(y) が真になるような y の値のことを言います。
P(y)∩¬Q(y) が真になるような y をひとつ見つけたとすれば、
それは命題 ∀x,P(x)⇒Q(x) の反例にはなっています。
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