相加相乗平均を使って最小値を求めたい時は積が定数になるようにしないといけませんか？

相加相乗平均を使って最小値を求めたい時は積が定数になるようにしないといけませんか？
x>0のときx+16/(x+2)の最小値を求める時にx+2+16/(x+2)−2に直さず、そのまま計算したら答えが違ってました

質問者からの補足コメント

• 等号成立はx=16/(x+2)すなわちx=√(17)−1のとき
  でこれをx+16/(x+2)に代入しました

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/27 21:38

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/27 21:50

でも、右辺は

x＝√17-1
の他の値を代入したとき
(例えばx＝1を代入したとき、などなど)
もっと小さい値になることがありますよ
これじゃ、左辺の最小値が把握できない

一方、右辺が定数で、先程のようにあれこれ変わらないなら
等号成立のときの値が左辺の最小だとはっきりわかりますよね

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/28 00:30

x > 0 のとき、

x と 16/(x+2) の相加相乗平均の関係から
x + 16/(x+2) ≧ 2√{ x・16/(x+2) } が成り立ち、
この不等式の等号成立は x = 16/(x+2) のときである
... という事実は、正しい。

問題点は、
x + 16/(x+2) ≧ 2√{ x・16/(x+2) } の等号が成り立つ x と
x + 16/(x+2) が最小値をとる x の間に
何の関係もないことにある。

一般に ∀x, f(x) ≧ g(x) が成り立つとき、
f(x) = g(x) が成り立つ x と
f(x) が最小値をとる x の間には
何の関係もない。そこを妄想してはいけない。

f(x) = x^2,
g(x) = - x^2 + 4x - 2 の場合について
y = f(x), y = g(x) のグラフを描いてみれば、
状況が理解できると思う。実際に、やってみ。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/27 22:05

補足

貴方のやり方だと
x+16/(x+2)は
この式に、x＝√17-1を代入した値(代入計算は面倒なので省略)を取ることがわかる
また、
x+16/(x+2)≧2√{16x/(x+2)}
において
例えばx＝1代入で
左辺＞2√16/3＝大雑把に4.5くらい
であることもわかる
x＝2代入で
左辺＞2√8≒5.6
であることもわかる
…もっともっと別のxの値代入で
左辺＞2√◯
ということもわかる
でも、これでは
x＝√17-1を代入で左辺が最小値となるとは言えませんよね

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/27 21:01

x+16/(x+2)≧2√{16x/(x+2)}

だと
xの値が変われば右辺の値が変わるから、左辺の最小値が分かり辛いでしょ
あなたはどうやって、左辺の最小値を求めたの？