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数学2です

x>0のとき、x + 16/(x+2) の最小値をもとめよ。
写真のようにといたのですが、答えが合いません。どこが間違っていますか。

「数学2です x>0のとき、x + 16/」の質問画像

A 回答 (9件)

2行目が間違っています。


a>0 , b>0 のとき、
a と b の相加平均は、(a+b)/2
a と b の相乗平均は、√(ab)

これより、2行目の不等式は、
{x + 16/(x+2)}/2≧√{16x/(x+2)}
x + 16/(x+2)≧ 2√{16x/(x+2)}

3行目の前半、等号成立は合っていますが、後半の最小値については間違っています。右辺に変数xが入っているので、右辺の値はいろいろ変わります。右辺が定数であれば左辺はその定数より小さくなることはないので、等号成立のとき最小値をとります。しかし、右辺の値がいろいろ変わるときは、等号成立のときの右辺の値よりも右辺の値が小さくなることが考えられます。よって、右辺が定数にならない場合は、相加相乗平均を用いて最小値を求めることはできません。

そこで、相加相乗平均を用いて最小値を求めるためには、相乗平均が定数になるように工夫をして最小値を求めます。

A= x + 16/(x+2) とおくと、
A+2= x+2 + 16/(x+2) となるので、
A+2 の最小値は相加相乗平均を用いて求めることができます。

x+2 + 16/(x+2)≧ 2√{(x+2)×16/(x+2)}
x+2 + 16/(x+2)≧ 2√16
x+2 + 16/(x+2)≧ 8
等号成立は、x+2=16/(x+2) のとき、
(x+2)²=16
x+2=±4
x>0 より、
x=2
よって、x=2 のとき、A+2 は最小値8をとります。
これより、Aの最小値は6です。
したがって、x + 16/(x+2) の最小値は6です。(x=2 のとき)
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(1/2){(x+2)+16/(x+2)}≧√{(x+2)・16/(x+2)}=4


したがって
(x+2)+16/(x+2)≧8
これが等号になるのは
(x+2)=16/(x+2)のときでx=2
つまり
(x+2)+16/(x+2)はx=2で最小値8をとる
したがって
x+16/(x+2)=(x+2)+16/(x+2)-2は
x=2で最小値 6 をとる。
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定跡どおり微分で解くと



f(x)=x + 16/(x+2)
df/dx=1 - 16/(x+2)^2
d^2f/dx2 = 32(x+2)^3

df/dx=0 となるx は
1 - 16/(x+2)^2 = 0 → (x+2)^2 = 16 → x = -6, 2
x = -6 の時 d^2f/dx2 < 0 だから極大
x =2 の時 d^2f/dx2 > 0 だから極小
なので x > 0 の範囲では x = 2 の時最小値。f(x) = 6

もう他の方の解説でお分かりだと思うけど
相加相乗平均から最小値が求まると考えたのは
何かの短絡だと思う。
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{ x + 16/(x+2) }/2 ≧ √{ 16x/(x+2) } が成り立つことも


x = { -1 + √17 }/2 でそのイコールが成り立つことも事実ですが、
図のように、
その点で { x + 16/(x+2) }/2 は最小にはなっていません。

x = { -1 + √17 }/2 以外の点でも
{ x + 16/(x+2) }/2 > √{ 16x/(x+2) } の関係は保ったまま
両辺の値は変化し、
{ x + 16/(x+2) }/2 が x = { -1 + √17 }/2 のときの値より
小さくなることもあり得るからです。

相加相乗平均の関係を使って最小値を求めるなら、
相乗平均のほうが定数になるように
式を加工してからでないと使えません。
(相加相乗平均の関係を使って最大値を求める場合には、
相加平均が定数になるように加工します。)
「数学2です x>0のとき、x + 16/」の回答画像6
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相加平均≧相乗平均は


(1/2)(x+16/(x+2))≧√(16x/(x+2)) になる。
だから君の出したxの値で上は等号になるだろう。
しかしそれはそのxの値で上の右辺の関数と左辺の関数が一致するという
だけの話だから、それで左辺の関数の最小値は出ない。
こうしたらどう?
x+16/(x+2)=x+2+16/(x+2)-2とすれば
左辺の関数の最小値は右辺のx+2+16/(x+2)の最小値-2
で出るからx+2+16/(x+2)の最小値問題におきかえたらいい。
ただし相加平均≧相乗平均の適用を誤らないように笑。
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xと16/(x+2)の


相加平均とは(足して2で割る事)
{x+16/(x+2)}/2
です
xと16/(x+2)の
相乗平均とは(かけて√をとる事)
√{(16x)/(x+2)}
です

x>0より,x>0かつ16/(x+2)>0だから,相加相乗平均を用いれば

{x+16/(x+2)}/2≧√{(16x)/(x+2)}
{x+16/(x+2)}/2≧4√{x/(x+2)}

x+16/(x+2)≧8√{x/(x+2)}

x=16/(x+2)の時
x(x+2)=16
x^2+2x=16
(x+1)^2=17

x=-1±√17
x+2=1±√17
16/(x+2)=16/(1±√17)=-1±√17

x+16/(x+2)=2(-1±√17)

x/(x+2)
=(-1±√17)/(1±√17)
=(-1±√17)^2/16

8√{x/(x+2)}
=2(-1±√17)
「数学2です x>0のとき、x + 16/」の回答画像4
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no.2ですが、因数分解間違えました!


すみません。
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x(x+2)=16


x^2+2x-16=0
(x+8)(x-2)=0
x>0 より、x=2。
このとき、最小値 2+16/(2+2)=6をとる。
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相加平均、相乗平均が違う


(a+b)/2≧√ab だよ。

紙の≧x・16/(x+2) って変でしょう?

≧√(32x/(x+2))だよ。
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