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四角の部分がわかりません。解説お願いします。高校数学

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      補足日時:2018/08/14 08:22

A 回答 (2件)

下に凸の放物線と、直線とで囲まれた部分の面積を求め、それを最小にする直線のパラメータを求めるのですね?



ここでは、本来「直線の式 - 放物線の式」とするところを、二次関数の x² の係数を「正」にしたいため
 f(x) = 放物線の式 - 直線の式
とおいています。

このとき、f(x) = 0 となる x が交点の x 座標ということは分かりますね?

この交点の x 座標を α、β とおけば
 f(α) = 0
 f(β) = 0
なのだから、
 f(x) = k(x - α)(x - β)
と書けることは分かりますね?
この問題の場合には、f(x) の x² の係数が「1」なので k=1 で
 f(x) = (x - α)(x - β)
になります。

これを積分すれば
 ∫[α→β]f(x)dx = ∫[α→β](x - α)(x - β)dx = ∫[α→β](x^2 - (α + β)x + αβ)dx
= [ x^3 /3 - (α + β)x^2 /2 + αβx ][α→β]
= (β^3 - α^3)/3 - (α + β)(β^2 - α^2)/2 + αβ(β - α)
= (1/6)(β - α)[ 2(β^2 + αβ + α^2) - 3(α + β)(β + α) + 6αβ ]
= (1/6)(β - α)[ 2β^2 + 2αβ + 2α^2 - 3β^2 - 6αβ - 3α^2 + 6αβ ]
= (1/6)(β - α)[ -β^2 + 2αβ - 2^2 ]
= -(1/6)(β - α)^3          ①

これが、上に書いてある「1/6 公式」ですね。
この「1/6 公式」は、高校数学・受験数学では「時間短縮」のためによく使うようなので、覚えておいた方がよいようです。(もちろん、上のように時間をかければちゃんと導けます。符号に注意!)
ただし、将来はあまり使いません。

①式から、求める面積は
 S = -∫[α→β]f(x)dx = (1/6)(β - α)^3
ということになり、この「最小値」は「(β - α) の最小値」ということになります。

あとは、二次方程式の一般解の式から
 x = (m ± √D)/2
ですから、 α<β なので
 α = (m - √D)/2
 β = (m + √D)/2
と書けることから
 β - α = √D
なので、「(β - α) の最小値」は「D の最小値」ということになります。

解の公式から(あるいは判別式の公式から)
 D = m^2 - 4(m - 2)
  = m^2 - 4m + 8
  = (m - 2)^2 + 4  ←m の二次式を「平方完成」
y=D(m) は、下に凸の放物線で、頂点が (2, 4) ということで、D は m=2 のとき最小になり、そのときの最小値は D=4 です。

従って、
 m=2 のとき
・D が最小(D=4)
→ (β - α) が最小(β - α = √D = 2)
→ 面積が最小(S = (1/6)(β - α)^3 = 8/6 = 4/3
ということになります。
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∫[α,β](x-α)(x-β)dxはそのまま積分しても構いませんが、以下のように変形すると非常に簡単に求められます。


∫[α,β](x-α)(x-β)dx =∫[α,β](x-α)(x-α-(β-α))dx=((x-α)^3/3-(β-α)(x-α)^2/2)[α,β]
=-(1/6)(β-α)^3

交点のx座標は、方程式
x^2-mx+m-2=0
の解によって与えられます。
x=(m±√(m^2-4m+8))/2
D=m^2-4m+8=(m-2)^2+4
とおけば、
x=(m±√D)/2
β>αであるから、
β=(m+√D)/2, α=(m-√D)/2
β-α=√D=√((m-2)^2+4)
となります。
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