写真の数学の質問です。 「最小値がf(x)=x^2++x+a＞g(x)=x^2+x+2aになる理由」

写真の数学の質問です。
「最小値がf(x)=x^2++x+a＞g(x)=x^2+x+2aになる理由」を以前質問したとき下記のように回答をいただいたのですが、よくよく考えてみると〈a<0のとき〉となる理由がわかりません。教えてほしいです。


f(x)=x^2+x+a
f(x)=(x+1/2)^2-1/4+a≧a-1/4
だから
f(x)の最小値は
a-1/4

g(x)=x^2-x+2a
g(x)=(x-1/2)^2-1/4+2a≧2a-1/4
だから
g(x)の最小値は
2a-1/4

a<0のとき
↓両辺にa-1/4を加えると
2a-1/4<a-1/4

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/04 20:48

f(x)=x^2+x+a

f(x)=(x+1/2)^2-1/4+a≧a-1/4
だから
f(x)の最小値はx=-1/2のとき
f(-1/2)=a-1/4

f(x)=x^2+x+a=0…①
は相異なる2実数解をもつから
f(-1/2)=a-1/4<0
a<1/4
その解をα<βとすると
軸x=-1/2だから
α<-1/2<β

0≦aと仮定すると
f(0)=a≧0
f(-1/2)=a-1/4<0
だから
-1/2<β≦0
だから
α<-1/2<β≦0

g(x)=x^2-x+2a
g(x)=(x-1/2)^2-1/4+2a≧2a-1/4
だから
g(x)の最小値はx=1/2のとき
g(1/2)=2a-1/4

g(x)=x^2-x+2a=0…②
は相異なる2実数解をもつから
g(1/2)=2a-1/4<0
a<1/8
その解をγ<δとすると
軸x=1/2だから
γ<1/2<δ

0≦aと仮定すると
g(0)=2a≧0
g(1/2)=2a-1/4<0
だから
0≦γ<1/2
だから
0≦γ<1/2<δ
↓これとα<-1/2<β≦0から

α<-1/2<β≦0≦γ<1/2<δ
だから
α<β≦γ<δ
となって
①②のいずれの方程式も解の1つが他の方程式の解の間にある事に矛盾するから
∴
a<0
↓両辺にa-1/4を加えると
2a-1/4<a-1/4
{g(x)の最小値}<{f(x)の最小値}

No.3 回答者： windwald 回答日時： 2023/01/04 19:25

#2さんおよび質問者さん、失礼しました。

質問文に「f(x)=x^2++x+a＞g(x)=x^2+x+2aになる理由」とあったのでこれを鵜呑みにしてしまいました。

そのため、f(x)の最小値(min{f(x)}とおく)と g(x)の最小値(min{g(x)}とおく)の比較の式だとは思ってもみませんでした。

質問者さんがご自身で求めた最小値より
　min{f(x)}-min{g(x)}=(a-1/4)-(2a-1/4)=-a
です。
a<0のとき-a>0はほぼ自明みたいなものですから、
　min{f(x)}-min{g(x)}>0
より
　min{f(x)} > min{g(x)}
が導かれます。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/04 17:04

g(x)=x^2+x+2a

ではありません

g(x)=x^2-x+2a
です
問題をすりかえないで下さい

f(x)=x^2+x+a
f(x)=(x+1/2)^2-1/4+a≧a-1/4
だから
f(x)の最小値は
a-1/4

g(x)=x^2-x+2a
g(x)=(x-1/2)^2-1/4+2a≧2a-1/4
だから
g(x)の最小値は
2a-1/4

a<0のとき
a<0
↓両辺にa-1/4を加えると
a+a-1/4<a-1/4
2a-1/4<a-1/4
{g(x)の最小値}=2a-1/4<a-1/4={f(x)の最小値}
{g(x)の最小値}<{f(x)の最小値}

a>0のとき
↓両辺にa-1/4を加えると
2a-1/4>a-1/4
{g(x)の最小値}>{f(x)の最小値}

だから

{g(x)の最小値}<{f(x)の最小値}
と
{g(x)の最小値}>{f(x)の最小値}
の
どちらにもなり得る

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2023/01/04 12:33

なに面倒なことしてるの？

f(x)-g(x)=-a>0 (∵a<0)
よってf(x)>g(x)