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No.5ベストアンサー
- 回答日時:
No3で回答した者ですが、誤りがありました。
g(x)=sinx+cosx とおくと
2次までテーラー展開します。
g(x)=1+x+x^2/2g''(tx)
となる0≦t≦1 tが存在する。高木貞治「解析概論」25節参照。
g(x)と(1+x+x^2)の差を計算すると
g(x)-(1+x-x^2)=x^2/2(g''(x)+2) (1)
となる。g''(x)=-sinx-cosx であるので、任意のxに対して sinx+cosx ≧1+x+x^2
が成り立つ。
以上で証明終わります。
-√2≦g''(x)≦√2 となる。
よって、2+g''(x)>0 である。
よって(1)はx>0のときは値はプラスである。
No.6
- 回答日時:
> sinx + cosx = 2 ってあるんでしょうか?
ありません。
「単振動の合成」の公式を使ってやると,
sin(x) + cos(x)
は,
(√2) sin(x + θ)
という形に変形できるので,任意の x について,
sin(x) + cos(x) < 2
が成り立ちます。
よって,
f''(x) = 2 - (sin(x) + cos(x)) > 0
です。
No.4
- 回答日時:
第2次導関数まで求めたのは良いと思います。
後はf"(x)>0がポイント
f"(x)>0 よりf'(x)は増加関数
f'(0)=0 だからx>0のときf'(x)>0
よってx>0のときf(x)も増加関数でf(0)=0
だからx>0のときf(x)>0
No.3
- 回答日時:
xが大きい時は不等式は成り立たないと思います。
g(x)=cosx+sinxとすると、3次までテーラー展開するとg(x)=1+2-x^2/2+g'''(tx)x^3/6
となる0≦t≦1となるtが存在する。g(x)と右辺の差を計算すると
g(x)-(1+x-x^2)=x^2/2(1+g'''(tx)x/3)
となる。
xが十分大きくて、g'''(tx)がマイナスの時、
1+g'''(tx)x/3 はマイナスの値となり、不等式が成り立たなくなります。
ですから、xについての制限があると思います。
例えば、0≦x≦π/2 とかの制限が必要と思います。
No.2
- 回答日時:
-sinx-cosx+2>0(x>0)なので下に凸な関数ってことがわかります。
f'(x)は単調増加関数ってことですね。
f(0)=0
f'(0)=0なので
f(x)>0(x>0)は成り立つのではないでしょうか。
No.1
- 回答日時:
まず左辺と右辺を別々に考えます。
(左辺)=√2sin(x+1/4π)
(右辺)=-{(x-1/2)^2-5/4}
右辺の 最大値は√2
最小値は-√2
左辺の 最大値は-5/4
右辺が-√2の時、左辺はそれより小さい。
(二式のグラフを書くと分かりやすいです)
になり常に(左辺)>(右辺)でいいんではないでしょうか?
あまり自信ありませんが。。
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