対偶による命題

整数aについて、命題(a＾2が３の倍数ならば、aは３の倍数である）が与えられている。
（１）
元の命題が真であることを証明する方法がわかりません。
これは、合同式をつかうそうなのですが、合同式についてよくわかりません。
誰か、お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/19 09:52

boku115さん、こんにちは。

合同式が分からないとのことですが、
これは乗余系といって、３で割った余りで考えるということです。

３で割った余りは、０，１，２のどれかですね。
ですから、数を３つのグループに分けることができるのです。

ある数xが３で割って余りが１だとすると
x≡1 mod 3
のように書きます。
mod 3とは、３で割った余りで区別するよ、という意味です。

さて、
＞命題(a＾2が３の倍数ならば、aは３の倍数である）

これを証明するには、この命題の待遇をとった命題
「aが３の倍数でない　ならば、a^2は３の倍数でない」
を証明すればいいと気付くと思います。

ここで、合同式を使うとすると、
a≡1 mod 3
または
a≡2 mod 3
ならば、a^2は３の倍数ではないことをいえればいいですね。

a≡1 mod 3のとき、
a^2≡1^2=1 mod 3となるので、やはり３では割り切れません。

a≡2 mod 3のとき、
a^2≡2^2=4≡1 mod 3
となるので、やはり３では割り切れません。

というわけで、いずれも３で割り切れないということが証明できました。

もともとも命題の待遇が証明されたので、もともとの命題は真であるということが証明されます。


この、mod の考え方は、ちょっと高校の範囲を超えていますから、
合同式を使わずに、同じように考えて
a=3n+1
a=3n+2
のようにあらわして、それぞれ２乗して、
a=3n+1のとき、
a^2=(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1
となるので、３で割って１余る。

a=3n+2のとき、
a^2=(3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1
となるので、やはりこれも、３で割って１余る。

したがって、aが３で割り切れないときには、a^2もまた３で割って割り切れない。

・・・のように証明していくのがいいでしょう。
頑張ってください。
合同式のところは、今は理解していなくても大丈夫です。
なんとなく、３で割って１余るグループとかで分けるんだな、
という考え方だけイメージしてみてください。
頑張ってください。

No.1 回答者： guowu-x 回答日時： 2003/07/19 09:01

別に合同式は使わなくても良いです。

コンセプトとしてそれに近いものは使いますが。
対偶を取ると「aは3の倍数でなければ、a^2は3の倍数ではない」ですね。
3の倍数でないということは3で割り切れないということであり、3で割ると1余るか2余るかです。
そこで、
a=3k+1
a=3k+2
とします。ただし、ｋは整数。
これらを2乗すればa^2が3の倍数でないことが分かります。対偶が真なので元の命題は真ということになります。