Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群であることと
PがGの正規部分群であることが同値であることを
シローの定理を使って示すにはどうすればいいのでしょうか?
<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する
(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する
(3)シローp-部分群は互いにG-共役
(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
p-シロー群が正規部分群とは次の二つのことが成り立つ。
(1) Pは正規部分群 ⇔ xP = Px,∀x.
(2) P,Qがp-シロー群 ⇒ aP = Qa,∃a.
Q
= aPa^{-1} (2)より
= P (1)より
よってP=Q、つまり、ただ一つしかない。
p-シロー群がP一つしかないとき
⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。
⇒axPx^{-1} = Pa,∀x
⇒yPy^{-1} = P,∀y
(y = axと変形)
⇒Pは正規部分群
どうかな、てきとーなんで、ゆるしてね
前半はすんなり理解できたのですが
>p-シロー群がP一つしかないとき
>⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。
この部分がいまいちなので、もう少し調べてみます。
読みやすい回答ありがとうございました。m(、、)m
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