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Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群であることと

PがGの正規部分群であることが同値であることを

シローの定理を使って示すにはどうすればいいのでしょうか?


<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

(3)シローp-部分群は互いにG-共役

(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

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A 回答 (2件)

p-シロー群が正規部分群とは次の二つのことが成り立つ。



(1) Pは正規部分群 ⇔ xP = Px,∀x.
(2) P,Qがp-シロー群 ⇒ aP = Qa,∃a.

Q
= aPa^{-1} (2)より
= P (1)より

よってP=Q、つまり、ただ一つしかない。

p-シロー群がP一つしかないとき
⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。
⇒axPx^{-1} = Pa,∀x
⇒yPy^{-1} = P,∀y
(y = axと変形)
⇒Pは正規部分群

どうかな、てきとーなんで、ゆるしてね
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この回答へのお礼

前半はすんなり理解できたのですが

>p-シロー群がP一つしかないとき
>⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。

この部分がいまいちなので、もう少し調べてみます。

読みやすい回答ありがとうございました。m(、、)m

お礼日時:2010/07/28 17:48

>(3)シローp-部分群は互いにG-共役


がポイント。

Gのシロー部分群Qを任意に取る。
Gの元kを用いてQ=kPk^(-1)と書けることがいえる。
PはGの正規部分群だからkPk^(-1)=Pがいえるから
Q=Pがいえる。

したがってGのシロー部分群はPのみであることがわかる。
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    • 0
この回答へのお礼

納得です。

こっちは自分で気づけないといけなかったです。

回答ありがとうございます。

お礼日時:2010/07/28 17:52

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Q位数素数と部分群の数について

pを素数とし,Gを位数pの群とする.
このときG×Gの部分群の数を求めよ.

といった問題について教えてください.

Gは位数pの群なので,GはZ/pZと同型になり,G×GはZ/pZ×Z/pZと同型になるので,Z/pZ×Z/pZの部分群の数を求めればいいと思うのですがそれが求められません.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成される
位数pの巡回群全体Tと一致します。

(**)この辺が位数が異なる素数である巡回群の直積と
  事情が異なります。p,qが相異なる素数の場合、
  (Z/pZ)×(Z/qZ)には位数pq, p, q (,1)の元が有ります

*特に(0,0)以外の元(x,y)は(p^2-1)個ありますが、
 これらは全てある位数pのG×Gの部分群に含まれます。
*一方V,W∈Tに対してV,Wに(0,0)以外の共通元
 (x,y)が有るとすると、<(x,y)>も位数pの
 巡回群であって、V=W.
 対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
 V≠WならばV,Wに共通元はありません。
 位数pのG×Gの部分群Vに含まれる、(0,0)以外の
 元の数は(p-1)個です。

よって、(0,0)以外の元(p^2-1)個は、
(p^2-1)/(p-1) = (p+1)個の 位数pの部分群たちに分類
されます。よって、位数がpであるG×Gの部分群は
p+1個です。

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成...続きを読む

Q位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか?

シローの定理が必要だとおもうのですが。。。

<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

(3)シローp-部分群は互いにG共役

(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

Aベストアンサー

位数45の群をG、Gの位数9の部分群をPとする。

><シローの定理>
>(4)シローp-部分群の個数は1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
がポイント

しかもシローp-部分群の個数は|G:P|だから、|G|=45
の約数である。

45の約数1,3,5,9,15,45のうち3で割ると1余るのは1のみである

したがってGのシロー9-部分群の個数は1個である。

Gから元kを任意にとる。
群kPk^(-1)を考えるとkPk^(-1)の位数は9である。
ところが、のシロー9-部分群は1個だからkPk^(-1)=P
でなければならない。

したがってPはGの正規部分群である。

Q巡回群と巡回群の直積は巡回群?

Wikipediaの巡回群の項目に

p、q が互いに素ならば、位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積は巡回群である。

ということが書いてあったのですが、これって簡単に証明できるのですか?
証明の概略と、これが十分条件も満たしてるならそちらの方の証明の概略も教えていただけないでしょうか。


そもそも巡回群の直積が巡回群になるとは、たとえば{e,a,a^2}と{e,b,b^2,b^3}の直積を考えたときに、<a,b>^nは単純に<a^n,b^n>というように考えて、

<a,b>^0=<e,e>
<a,b>^1=<a,b>
<a,b>^2=<a^2,b^2>
<a,b>^3=<e,b^3>
<a,b>^4=<a,e>
<a,b>^5=<a^2,b>
<a,b>^6=<e,b^2>
<a,b>^7=<a,b^3>
<a,b>^8=<a^2,e>
<a,b>^9=<e,b>
<a,b>^10=<a,b^2>
<a,b>^11=<a^2,b^3>

はい、巡回群。という感じになるのでしょうか?

Aベストアンサー

p、q が互いに素ならば、確かに直積は巡回群になります。これは十分条件です。この証明は基本的には連立合同式の解の存在証明と同じです。
x≡s(mod p)
x≡t(mod q)
この連立合同式の解の存在はどのように示せますか?

Q位数12の群Gの問題なんですが・・・

Gを位数12の群G=<a,b>,a^^6=e,a^^3=b^^2=(ab)^^2とする。Gの元はG={e,a,a^^2,a^^3,a^^4,a^^5,b,ab,a^^2b,a^^3b,a^^4b,a^^5b}でありまた部分群N、Z、Kを次のようにおく。N=<a>,Z<a^^3>,K<b>とした時の
(1)剰余群G/N、G/Z、N/Zの乗積表を作れという問題なんですがいまいちわかりません。
(2)またN,Kの標準的準同型写像f:G→G/Z x:→xZによる像を求めよという問題なんですがよくわかりません。アドバイス頂ければありがたいです。よろしくお願い致します。(Gの乗積表は省略しました。)

Aベストアンサー

仕事終わり♪
NがGの正規部分群であれば、g,hをGの元として、
gN=hNとなるgやhを仲間と思って、代表にgを取ってgNと書きます。
Gの元は全部どこかに振り分けられて、どこかの仲間に入ります。で、
eN(単位元の入ってる仲間、Nと書いていいです),gN,...
という、仲間の集合が出来るわけです。それをG/N:={N,gN,aN,bN...}と
書きます。さてこの集合G/Nにとっては、N,gN,aN,bN,...というのは
元ですよね。これに演算をaN・bN=abNとしてやると、集合G/Nは群です。
単位元はNになってるし、任意の元の逆元もあるでしょ?
代表は適当にとっていいです。じゃ、G/Z、N/Zの元を書き上げて。
そしたら乗積表はできるよね。

(2)像の定義を見直せば解けると思います。書いとこうか?
像 Im(f)={f(x)|x in G} 
ちなみに、これはG/Zの部分集合だよ。

レポートかな試験かな。がんばってねー♪

Q群Gの元aの位数

35歳すぎにして、代数学の初心者です。
代数における群Gの元aの位数の意味がよくわかりません。位数って群の元の数ですよね?ってことは、元aが位数を持つということは、元aも群だということなのでしょうか?元aは群Gの部分群でないと、元aは位数を持たないのでしょうか?
これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。
どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#4です。
補足に対して少しお答えします。
群に入っている演算は何でもいいわけですが
乗法が分かりやすいし、よく説明に使われると思うので
(質問にa^nという表現もあることですし)
乗法で話をします。

群は演算に関して閉じています。
だからaがあればaを何回か掛けてできる数は全部入って
いなければいけません。

よってa^nはGに入っています。(当然nは自然数)
Gの位数が有限ならa^nはどこかで繰り返しにならないとGの位数より個数が増えてしまいます。
証明は難しく無いですが略します。感覚的にはわかってもらえると思います。

だからa^n=e(単位元)となるnが存在するといえる
わけです。1回繰り返しになれば後はその倍数で繰り返し
になりますので「最小の」と断ったのです。

(乗法の例
1のn乗根a^n=1乗法の単位元

加法でいえばa,2a,3a・・・・,na=0加法の単位元
となります。例:割り算したときの余り)

Q位数8の群の例

位数8の群の例を挙げよ(同値でないもの挙げなさい)。
という問題なのですが、
答えとして
巡回群Z_8,(Z_4*Z_2),(Z_2*Z_2*Z_2),
正2面体群D_4,4元数群Q
であると思うですがこれは例では無いのだと思いまして、
この例の作り方を教えていただきたいと思いまして投稿いたしました。
どなたかわかる方お願いいたします!

Aベストアンサー

おっしゃる意味がいまいちつかめませんが、位数8の群は同型をのぞくとその5つしかありません。逆に言うとたとえば正方形の自己同型全体(90度回転と反転から生成される)とかそういうある意味具体的な意味を持つ群だとか、あるいは生成元と基本関係式で群を明示するだとか、はたまた群表を書いてこのような群だといったところで、とにかく上の5つのいずれかの群と本質的に同じものができるわけです(つまり同型だということ)。いずれにせよ上記5つの群を与えることが、位数8の群の例示ということになっていると思います。

ただ正2面大群と四元数群といっただけでは少し分かりにくい(超有名例だから別によいですけど)ので、基本関係式でも書いておけばよいかとも思います。

Q代数学の質問です(偶置換と奇置換の判別)

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
σ(5)より右側で5よりも大きい数の個数
σ(3)より右側で3よりも大きい数の個数
……
といった数え上げを行い、それが奇数になるか偶数になるかという機会的な方法で求まるらしいです。
そうすると、14個あるので、これは偶置換になると思うのですが、テキストにも乗っていないので、この方法は信用していいのか分からないです。

つきましては、次の二点を教えてください。

(1)上の問題が偶置換か奇置換かを判別する方法とその説明
(2)逆転数に着目するという方法が正答かどうか

お手数ですが、よろしくお願いします。

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
σ(5)より右側で5よりも大きい数の個数
σ(3)より右側で3よりも大きい数の個数
...続きを読む

Aベストアンサー

書き方が変ですが
[ 1234567 ]
[ 5312476 ]

の置換のことでしようか?

互換で置換を進めると

1234567

5234167
5324167
5314267
5312467
5312476

5回なので奇置換です。左から正しい数をつめてゆくだけ
なので、何も考えなくても直ぐに機械的に終ります。

Qアーベル群の個数

『位数が120の有限アーベル群は同型を除いて何個あるか?』


これはアーベル群の元の個数を答えればいいのでしょうか?
巡回群→アーベル群であるから
位数が120の巡回群の生成元の個数nはEuler関数ψを用いて
n=ψ(120)=120*(1-1/2)*(1-/3)*(1-1/5)=32
より32個

であってますか?
明日試験で困ってます。どなたかご教授下さい。

◆疑問点
1:巡回群→アーベル群ですが、アーベル群→巡回群はいえないので上のでは正しくない(不足しているものがあう可能性がある)?
2:同型を除いて…同型がいまいちよくわかりません

Aベストアンサー

答えは32じゃあまずいと思います…
有限アーベル群の構造定理はご存知ですか?
有限アーベル群は不変系と呼ばれる数字の組み合わせだけで同型類が決定されます。
位数が120の場合、素因数分解が
120=2^3*3*5
なので、不変系は(120)、(2,60)、(2,2,30)の3種類です。
よって位数120のアーベル群の同型類は3つだけです。

不変系などに関しては適当な代数の参考書にのっているので、参照してみてください。

Q可換群で同型,や非同型の判定の仕方は?

下記の可換群でどれとどれとが同型,どれとどれとが非同型であるとどうやって判定すればいいのでしょうか?

位数が400である可換群は
Z_{2^4}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_5,
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_5(+)Z_5.
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_5(+)Z_5
Z_{2^4}(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_{5^2},
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_{2^4}(+)Z_{5^2}
があると思います。

位数32である可換群は
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^3},
Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{2^2},
Z_2(+)Z_{2^4},
Z_[2^2}(+)Z_{2^3},
Z_{2^5}
があると思います。

Z_{p^2}(+)Z_{p^3}の位数{p^2}の部分群は
({0mod{p^2}},Z_{p^2}),(Z_p,Z_p),(Z_{p^2},{0mod{p^3}})があると思います。

下記の可換群でどれとどれとが同型,どれとどれとが非同型であるとどうやって判定すればいいのでしょうか?

位数が400である可換群は
Z_{2^4}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_5,
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_5(+)Z_5.
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_5(+)Z_5
Z_{2^4}(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_{5^2},
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_{2^4}(+)Z_{5^2}
があると思います。

位数32である可換群は
...続きを読む

Aベストアンサー

>m1 | m2 |...| mrはどういう意味でしょうか?
これはお察しの通りです。

>これら二つを組み合わせるとはどういうことでしょうか?
たとえば位数135の可換群は、1つめにより同型を除き

Z_{27} + Z_{5}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}

で尽くされます。ある事実に注目すれば、それぞれ

Z_{135}
Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

と同型であることがわかります。
このある事実は1つめから2つめを示すときにも使われますが、それが何であるかは既に答えも書いてあるので自分で考えてみてください。
数字をよく観察すれば絶対に分かります。

Q有限アーベル群Gの位数が相異なる2素数p、qの積であるとき、Gは巡回群

有限アーベル群Gの位数が相異なる2素数p、qの積であるとき、Gは巡回群であることを示せ。


という問題があるのですがよくわかりません。できれば詳しく教えていただけると嬉しいです!

Aベストアンサー

大抵の教科書に書いてありませんか?
構造定理を使わずに、手作りっぽく
書いてみると…

G の元で、単位元でないモノの一つを a とし、
a が生成する G の部分群を A とする。
A の位数は、ラグランジェの定理より、
G の位数の約数 1,p,q,pq のどれかになる。
(0) 位数が 1 の場合。
a が単位元でないから、これはありえない。
(1) 位数が p の場合。
可換群の部分群は全て正規部分群だから、
G は A と商群 G/A の直積に分解する。
A,G/A は位数 p,q の部分群であり、
素数位数だから巡回群である。
巡回群同士の直積群は、巡回群となる。
(2) 位数が q の場合。
同上。
(3) 位数が pq の場合。
単項生成の部分群は巡回群だから、
G = A は位数 pq の巡回群になる。


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