数学の対数についての質問です

３分の１の４０乗は少数第何ケタに始めて０でない数字が現れるのかまた０ではない数を求めよという問題です
なおlog10の３＝０．４７７１として
答えは少数第２０桁目に初めて０でない数字８が現れる。
答えの求め方がわからないので詳しい解説などお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： okormazd 回答日時： 2010/12/11 18:31

0.3の常用対数は

log_10(0.3)=-0.5229=-1+0.4771
です。
ここで、-1の部分が小数点以下初めて０でない数値が表れる桁数で、この場合は小数点以下１桁で０でない数値が来るよということを表します。
また、+0.4771の部分が０でない数値の常用対数を表しています。log_10(3)=0.4771　(10^0.4771=3ということ、「^」は指数、何乗のことです)　だから、小数点以下１桁目の数値は3だということです。元の数は０．３だったから合っていますよね。

それで、(1/3)^40の話です。
log_10{(1/3)^40}=40×log_10(1/3)=40×{log_10(1)-log_10(3)}=40×{-log_10(3)}=40×(-0.4771)=-19.084=-20+0.916
です。

0.3のところで説明したように、0でない数値が出てくるのは、小数点以下20桁めで、その数値は、10^0.916=8.241だから、
８です。

No.2 回答者： noname#157574 回答日時： 2010/12/11 18:06

x＝(1/3)^40とおくと，両辺の常用対数をとって

log[10]x＝log[10](1/3)^40＝40(log[10]1－log[10]3)＝40×(－0.4771)＝－19.084
－20≦log[10]x＜－19より10^(－20)≦x＜10^(－19)
したがって(1/3)^40は小数第20位に初めて0でない数が現れる。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/12/11 18:05

（１／３）＾４０の対数をとってやります（底は１０、以降省略します）。

なぜ底を１０とする対数をとるかというと、
ｌｏｇ１００＝２
ｌｏｇ０．１＝－１
のように、１０進数の桁数が判るからです。

ｌｏｇ（１／３）＾４０＝４０ｌｏｇ（１／３）
　　　　　　　　　　　＝－４０ｌｏｇ３
　　　　　　　　　　　≒－１９．１

これより
１０＾－１９＜（１／３）＾４０＜１０＾－２０