∀x∃yと∃x∀yの違いがいまいちよくわかりません。

分かりやすく理解する考え方等あるでしょうか?

A 回答 (2件)

「∀x∃y」と「∃x∀y」だと変数も入れ替わっちゃうから比較がしづらい.


ので「∀x∃y」と「∃y∀x」でいくけど, そもそも「∀」とか「∃」の意味が分かっていれば問題にならない.
・∀: 「どんな値に対しても~」
・∃: 「適切な値を持ってくれば~」
で, 左から順に見ていけばいい.

で問題:
変域を整数としたときに
∀x∃y(x+y=0)
∃y∀x(x+y=0)
のそれぞれの真偽について考えてみてください.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

・∀: 「どんな値に対しても~」
・∃: 「適切な値を持ってくれば~」

という理論からすると

∀x∃y(x+y=0)
 ⇒「どんなxに対しても適切なyを持ってくればx+y=0を満たす」という命題になり、これは真。例)x=5とするとy=-5でx+y=0

∃y∀x(x+y=0)
 ⇒「適切な(ある)yに対してどんなxでもx+y=0を満たす」という命題になり、これは偽。例)y=5としてx=2とするとx+y≠0

となるんですね。(あってますよね?)

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2011/04/13 00:19

うぃ, それで OK.

    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2011/04/13 06:29

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数学の問題です。(複数のルート、分数)写真の通りになります。答えは2番なのですが、解き方がわから

数学の問題です。(複数のルート、分数)

写真の通りになります。答えは2番なのですが、解き方がわからないので、解説をお願いいたします。


よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(√2 + √3 - 1)/(√2 + √3 + 1)

答えは2番・・??
3番でないの・・!?

(√2 + √3)をひと塊と見ると計算がいくらか楽になるかも!?
先ず分母有理化をする
→(√2 + √3 - 1)^2/(4 + 2√6) = (6 + 2√6 - 2(√2 + √3))/(4 + 2√6)
分母分子に共通因数2があるので約分すると
→(3 + √6 - (√2 + √3))/(2 + √6)
もう一回分母有理化
→(√6 - 2)(3 + √6 - (√2 + √3))/2
= (√6 - 2)(√6 + 2 - (√2 + √3 - 1))/2
= (2 - (√6 - 2)(√2 + √3 - 1))/2
= 2 - (2√3 + 3√2 - √6 - 2√2 - 2√3 + 2)/2
= (√6 - √2)/2

Q¬(∀x∃y∀z(p))≡∃x∀y∃z(¬p)について。

お世話になります。
よろしくお願いします。

¬(∀x∃y∀z(p))≡∃x∀y∃z(¬p)
の理解と証明ができずに困っています。

日本語的な解釈の仕方あるいは記号論理学での証明法あるいはお勧めの参考書などご存知の方がいましたら教えてください。

ちなみに
¬(∃x(p))≡∀x(¬p)
は理解できてます。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

きちんと全部,括弧をつければいいんじゃない?

¬(∀x∃y∀z(p))は
¬(∀x(∃y(∀z(p))))のこと
Q=∃y(∀z(p))とすれば
¬(∀x(Q)) だから ∃x(¬Q)
P=∀z(p)とすれば
¬Q=¬(∃y(P))=∀y(¬P)=∀y(∃z(¬p))
だから
¬(∀x∃y∀z(p))=∃x∀y∃z(¬p)

Q方程式の解き方(ルート含む)

数学のルートを含む比率の式の解き方を教えてください。
1:√3=X:10
です。これをとくと、10=X√3になって・・・
わかりません。教えてください。

Aベストアンサー

普通に移項して、
X=10÷√3 じゃだめですか?

QV:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)= (∀x∈V)

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
の事です。
fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

Aベストアンサー

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく,Ker(f)とuは直交
となるようにします.
#これは有限次元だから可能
#けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき,
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって,x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから,
0=<x-f(x)/f(u)u,u> (uはKer(f)の直交補空間Uの元)
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか.複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意.

#内積があれば,双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
#簡単になるというありがたいお話ですな

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく...続きを読む

Q数学の方程式の解き方を教えて下さい!

5+1/2ルート100+r=11
この時のrを求めて下さい。
※100+rはルートの中に入ってます。

学生時代にやったはずなのに、長く数学と触れ合わなかったので忘れてしまって…。

申し訳ないですが、解き方を教えて下さい。
特にルートの外し方が分からず、解けなくなっている状態なので、その部分を詳しく教えていただければ幸甚です。

Aベストアンサー

#1ですが補足です。
√とは「二乗すればその数になる」ということなので√x=yならx=y^2(yの二乗)です。
√4=2です。
つまりルートを外すには右も左も二乗するということになります。

Q∃x∀y[y∉x]??

数学の素人なのですが、ある事情で集合論を勉強しようと思って、本を手にとってみたところ

∃x∀y[y∉x]

という数学記号で作られた文章みたいなものが出てきました。
これはどう読めばいいのでしょうか??
自分なりに解釈し、直訳したところ

”全てのyに対して、yがxに含まれないxが存在する”

みたいな感じなのですが、文章的にも意味が通ってない気がします。。
これの正しい読み方はなんなのでしょうか?

それとこういう書き方はなんと言うのでしょうか?
後、こう言う数学記号?の読み方が学べる本やサイトなどがあれば教えていただきたいです!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

命題1:∃x∀y[x>y] は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。」
 あるxがあって、ですから例えばx=10000としてみます、すべてのyにたいして、10000>y は成立しません。
 じゃあ、もうチョイ増やして、x=100000000としてみます、すべてのyにたいして、100000000>y は成立しません。
 ∃xですから1個でも見つかればよいのですが、どんなxを選んでも、すべてのyの中にはx以上のものがあるので、成立しません。よって、この命題は偽となります。

命題2:∀y∃x[x>y] は「すべてのyに対して、あるxが存在し、x>yをみたす。」
 すべてのyにたいしてですから、まずy=0で成立するか考えて見ます。x=1なら、1>0 が成立します。
 続いてy=1で成立するか考えて見ます。x=2とすれば、2>1 が成立します。
 yをどんどん大きく場合でも、yが実数ならy+1も実数であるから、xにy+1となるxを選べば、x>y が成立します。
 yが負のときは、x=0を選んでおけば、x>y が成立します。
 なので、すべてのyにたいして、あるx(をうまく選ぶことができ)が存在し、x>y を成立させることができます。 よってこの命題は真

命題1:∃x∀y[x>y] は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。」
 あるxがあって、ですから例えばx=10000としてみます、すべてのyにたいして、10000>y は成立しません。
 じゃあ、もうチョイ増やして、x=100000000としてみます、すべてのyにたいして、100000000>y は成立しません。
 ∃xですから1個でも見つかればよいのですが、どんなxを選んでも、すべてのyの中にはx以上のものがあるので、成立しません。よって、この命題は偽となります。

命題2:∀y∃x[x>y] は「すべてのyに対して、あるx...続きを読む

Q中学数学の問題です。 解き方を教えてください。よろしくお願いします。

中学数学の問題です。 解き方を教えてください。よろしくお願いします。
中学数学の問題です。
解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2 です。

>(2)について
>出発点以外で)最初に6cmになるのはQが周回遅れのPに追いついたときです。
>とのことですが、なぜ、周回遅れでちょうど追いついた時に、AEの位置にPQがいるとわかるのでしょうか?
>また、途中でPQ間が6CMになる可能性はなぜ、排除できるのでしょう?


回答内容をちゃんと読んでください。どこにもそんなこと書いてないでしょ。

Pは上の長方形ABCDを周回し、Qは下の長方形EFGHを周回しています。
2つの長方形は直方体の上面と底面なので平行であり、直方体の高さはAEの6cmで与えられているので、PQの最短距離はこれに等しい。したがって、PQが6cmになるのはAEと平行、すなわちPがQの真上にある時です。(それ以外ならPQは必ず6cmより大きくなります)
以上の条件が成り立つならPQがどこにあろうと関係ありません。

Qy,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>>V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V\Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

Qルートの入った方程式の解き方

ルートの入った方程式が解けません。どなたか、次の方程式の解き方を教えて頂けませんか?
√(x-4)2乗+10の2乗 + √(x-10)2乗+90の2乗 = 100.5442
環境学で、遮音壁の高さを計算するのに必要なのですが、数学を忘れてしまい、行き詰っています。

Aベストアンサー

(x-4)2乗+10の2乗や(x-10)2乗+90の2乗は、√の中にあるんでしょうか?

だとしたら次のようにしてみてください。(途中まで解いたのですが係数がすさまじい数字になって、間違いなく計算ちがいしているので具体的数値は書きません) A=100.5442とします。また、10^2=100、90^2=8100

両辺を2乗する。 (x-4)^2+100+2√((x-4)2乗+100)√((x-10)2乗+8100)+(x-10)2乗+8100=A^2

√のついていない項を右辺へ移項  2√((x-4)2乗+100)√((x-10)2乗+8100)=A^2-(x-4)^2+100-(x-10)2乗+8100

これの両辺を2乗すると√が消え、整理すると4次の項が消えて3次方程式に成ります(ひょっとすると2次方程式?)。

カルダノの公式を使うか、数値的に解くことになるでしょう。数値的にとくなら最初からエクセルのゴールシーやかソルバーを使った方が簡単かもしれません。

あと、2乗を2回もしているので無縁の根が混じるでしょう。検算を忘れずに行なってください。

(x-4)2乗+10の2乗や(x-10)2乗+90の2乗は、√の中にあるんでしょうか?

だとしたら次のようにしてみてください。(途中まで解いたのですが係数がすさまじい数字になって、間違いなく計算ちがいしているので具体的数値は書きません) A=100.5442とします。また、10^2=100、90^2=8100

両辺を2乗する。 (x-4)^2+100+2√((x-4)2乗+100)√((x-10)2乗+8100)+(x-10)2乗+8100=A^2

√のついていない項を右辺へ移項  2√((x-4)2乗+100)√((x-10)2乗+8100)=A^2-(x-4)^2+10...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


人気Q&Aランキング

おすすめ情報