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∀x∃yと∃x∀yの違いがいまいちよくわかりません。

分かりやすく理解する考え方等あるでしょうか?

A 回答 (2件)

「∀x∃y」と「∃x∀y」だと変数も入れ替わっちゃうから比較がしづらい.


ので「∀x∃y」と「∃y∀x」でいくけど, そもそも「∀」とか「∃」の意味が分かっていれば問題にならない.
・∀: 「どんな値に対しても~」
・∃: 「適切な値を持ってくれば~」
で, 左から順に見ていけばいい.

で問題:
変域を整数としたときに
∀x∃y(x+y=0)
∃y∀x(x+y=0)
のそれぞれの真偽について考えてみてください.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

・∀: 「どんな値に対しても~」
・∃: 「適切な値を持ってくれば~」

という理論からすると

∀x∃y(x+y=0)
 ⇒「どんなxに対しても適切なyを持ってくればx+y=0を満たす」という命題になり、これは真。例)x=5とするとy=-5でx+y=0

∃y∀x(x+y=0)
 ⇒「適切な(ある)yに対してどんなxでもx+y=0を満たす」という命題になり、これは偽。例)y=5としてx=2とするとx+y≠0

となるんですね。(あってますよね?)

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2011/04/13 00:19

うぃ, それで OK.

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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2011/04/13 06:29

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Q数学の問題です。(複数のルート、分数)写真の通りになります。答えは2番なのですが、解き方がわから

数学の問題です。(複数のルート、分数)

写真の通りになります。答えは2番なのですが、解き方がわからないので、解説をお願いいたします。


よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(√2 + √3 - 1)/(√2 + √3 + 1)

答えは2番・・??
3番でないの・・!?

(√2 + √3)をひと塊と見ると計算がいくらか楽になるかも!?
先ず分母有理化をする
→(√2 + √3 - 1)^2/(4 + 2√6) = (6 + 2√6 - 2(√2 + √3))/(4 + 2√6)
分母分子に共通因数2があるので約分すると
→(3 + √6 - (√2 + √3))/(2 + √6)
もう一回分母有理化
→(√6 - 2)(3 + √6 - (√2 + √3))/2
= (√6 - 2)(√6 + 2 - (√2 + √3 - 1))/2
= (2 - (√6 - 2)(√2 + √3 - 1))/2
= 2 - (2√3 + 3√2 - √6 - 2√2 - 2√3 + 2)/2
= (√6 - √2)/2

Q¬(∀x∃y∀z(p))≡∃x∀y∃z(¬p)について。

お世話になります。
よろしくお願いします。

¬(∀x∃y∀z(p))≡∃x∀y∃z(¬p)
の理解と証明ができずに困っています。

日本語的な解釈の仕方あるいは記号論理学での証明法あるいはお勧めの参考書などご存知の方がいましたら教えてください。

ちなみに
¬(∃x(p))≡∀x(¬p)
は理解できてます。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

きちんと全部,括弧をつければいいんじゃない?

¬(∀x∃y∀z(p))は
¬(∀x(∃y(∀z(p))))のこと
Q=∃y(∀z(p))とすれば
¬(∀x(Q)) だから ∃x(¬Q)
P=∀z(p)とすれば
¬Q=¬(∃y(P))=∀y(¬P)=∀y(∃z(¬p))
だから
¬(∀x∃y∀z(p))=∃x∀y∃z(¬p)

Q教材アプリの実行エラー

お世話になります。

下記URLの数学の教材アプリ(sc_wave.exe)を実行すると、
「System Error &H80070057 パラメータが間違っています」
となってしまいます。

http://izumi-math.jp/M_Sanae/Fourier/fourier.htm

作者への問い合わせ窓口が無い様なので、
皆様に教えていただきたいのですが、
みなさんのPCでは実行できましたか?

当方のPC環境はVistaとなります。

公開されているocxはSystemと念のためSystem32に置き、
PCの再起動を実施しております。

関係無いと思いますが、
PCには開発環境としてVB6,VS2005,VS2008,VS2010がインストールしてあります。

Aベストアンサー

ダメでしたか.....
私もDLして起動して見ましたが同じ結果となりました。どうやらVB5で作成されたソフトのようです。
MSVBVM50.DLLはsystem32に存在しているのですが...まだ何か足らないのか、当方もVB6を入れてあるので関連コンポーネントのヴァージョンが上がってしまって不整合を起こしているのか、解りません。
VB5のランタイムセットでも入れれば動くのかもしれませんがVB6の環境が壊れるといやなので試してません。
回答にならなくて申し訳ないですが、これ以上は環境を壊す可能性があるのでパスさせてください。

>作者への問い合わせ窓口が無い様なので

トップページに「お問い合わせ」があります。
http://izumi-math.jp/

「新 フーリエの冒険」には「分野別索引」→「微分・積分」でたどり着けます

QV:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)= (∀x∈V)

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
の事です。
fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

Aベストアンサー

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく,Ker(f)とuは直交
となるようにします.
#これは有限次元だから可能
#けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき,
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって,x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから,
0=<x-f(x)/f(u)u,u> (uはKer(f)の直交補空間Uの元)
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか.複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意.

#内積があれば,双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
#簡単になるというありがたいお話ですな

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく...続きを読む

Q中学レベルの数学の問題は、数学カテゴリと中学生カテゴリどっちの方が多いですか? あと、理科のカテゴリ

中学レベルの数学の問題は、数学カテゴリと中学生カテゴリどっちの方が多いですか?

あと、理科のカテゴリありますか?

Aベストアンサー

>中学レベルの数学の問題は、数学カテゴリと中学生カテゴリどっちの方が多いですか?
数学の問題について質問であれば、数学カテゴリのほうが多い気がしますね。
専門的な回答も数学カテゴリのほうが付きやすい気がします。
中学生カテゴリ、というのは恐らく中学校カテゴリを表しているかと思いますが、
こちらは学校のことについて質問するカテゴリかと思いますね。

>あと、理科のカテゴリありますか?
理科関係のカテゴリについては、

・学問・教育・科学 > 自然科学

の配下に理科関係のカテゴリがありますので、そちらを利用すると良いかと思います。

Q∃x∀y[y∉x]??

数学の素人なのですが、ある事情で集合論を勉強しようと思って、本を手にとってみたところ

∃x∀y[y∉x]

という数学記号で作られた文章みたいなものが出てきました。
これはどう読めばいいのでしょうか??
自分なりに解釈し、直訳したところ

”全てのyに対して、yがxに含まれないxが存在する”

みたいな感じなのですが、文章的にも意味が通ってない気がします。。
これの正しい読み方はなんなのでしょうか?

それとこういう書き方はなんと言うのでしょうか?
後、こう言う数学記号?の読み方が学べる本やサイトなどがあれば教えていただきたいです!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

命題1:∃x∀y[x>y] は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。」
 あるxがあって、ですから例えばx=10000としてみます、すべてのyにたいして、10000>y は成立しません。
 じゃあ、もうチョイ増やして、x=100000000としてみます、すべてのyにたいして、100000000>y は成立しません。
 ∃xですから1個でも見つかればよいのですが、どんなxを選んでも、すべてのyの中にはx以上のものがあるので、成立しません。よって、この命題は偽となります。

命題2:∀y∃x[x>y] は「すべてのyに対して、あるxが存在し、x>yをみたす。」
 すべてのyにたいしてですから、まずy=0で成立するか考えて見ます。x=1なら、1>0 が成立します。
 続いてy=1で成立するか考えて見ます。x=2とすれば、2>1 が成立します。
 yをどんどん大きく場合でも、yが実数ならy+1も実数であるから、xにy+1となるxを選べば、x>y が成立します。
 yが負のときは、x=0を選んでおけば、x>y が成立します。
 なので、すべてのyにたいして、あるx(をうまく選ぶことができ)が存在し、x>y を成立させることができます。 よってこの命題は真

命題1:∃x∀y[x>y] は「あるxがあって、すべてのyにたいして、x>yをみたす。」
 あるxがあって、ですから例えばx=10000としてみます、すべてのyにたいして、10000>y は成立しません。
 じゃあ、もうチョイ増やして、x=100000000としてみます、すべてのyにたいして、100000000>y は成立しません。
 ∃xですから1個でも見つかればよいのですが、どんなxを選んでも、すべてのyの中にはx以上のものがあるので、成立しません。よって、この命題は偽となります。

命題2:∀y∃x[x>y] は「すべてのyに対して、あるx...続きを読む

Q数学/物理的基礎の必要性

秋から、海外の大学で天文学を学びたいと考えています。
専攻予定でもないですし、授業自体は一般教養レベル、とのことですが、履修条件として「good understading of algebra」とあります。

正直なところ、高校では数2・数Aまでしか履修してこなかったため、数学的基礎力に不安があります。(物理も同様に、ですが。)
幸い、数学や物理に苦手意識があるわけではないですし、学期開始まで2か月程度時間があるので、その間にある程度補っておこうと考えています。

天文学を学ぶ上で、(数学や物理の)特にどのような単元を自習しておいた方がよいでしょうか?
参考になりそうな書籍があれば、合わせて紹介していただけると大変助かります。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

NHK高校講座地学の番組
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/library/2007/tv/chigaku/
岩波書店「現代数学への入門」全10巻20分冊。
高校数学I・II・III・A・B・Cの教科書とガイド。
高校物理の教科書とガイド。
太郎次郎社「遠山啓のコペルニクスからニュートンまで」
根上生也「トポロジカル宇宙」:ポアンカレ予想
最近、日本評論社から、天文学の全集が刊行されているはず。
http://www.nippyo.co.jp/index.htm
東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著。
岩波新書「無限のなかの数学」志賀浩二著。
雑誌ニュートンから、天文の特集がたくさんでている。
http://www.newtonpress.co.jp/
池内了さん:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%A0%E5%86%85%E4%BA%86
コペルニクス、ガリレオ、ニュートン、メシエ、ハッブル、ガウス、オイラー、リーマン、アインシュタイン、アシモフ、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E6%96%87%E5%AD%A6%E5%8F%B2
なぜか、偉大な数学者は、物理学、天文学も研究している、というか、現場の観測、研究から、計算、予測のために数式、方程式を考えたのだろう。
手当たり次第に、情報を入手するには、インターネット、デジタル情報は便利だ。アナログ情報の、本、雑誌、辞典、図鑑は、ムダも多いが、そこがいいんだな。古本屋、ブックオフ、ヤフーオークションで、中古の本や図鑑を購入するのもいいでしょう。
ハワイによる機会があれば、「すばる望遠鏡」のぞいてください。
ここ10年で、全国各地に天文台ができました。就職先もぐんとひろがりました。地球温暖化対策で、夜間の照明を落とす動きが始まりました。
九重高原でみた天の川、手を伸ばせば、星に届くかと思われた、満点の星空。忘れられません。
天文のカテゴリは、ときどきのぞきます。出発まで、困ったら、また質問してください。できるかぎり、応援します。大いにお励みください。

NHK高校講座地学の番組
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/library/2007/tv/chigaku/
岩波書店「現代数学への入門」全10巻20分冊。
高校数学I・II・III・A・B・Cの教科書とガイド。
高校物理の教科書とガイド。
太郎次郎社「遠山啓のコペルニクスからニュートンまで」
根上生也「トポロジカル宇宙」:ポアンカレ予想
最近、日本評論社から、天文学の全集が刊行されているはず。
http://www.nippyo.co.jp/index.htm
東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著。
岩波新書「無限のなかの数学」志賀浩二著。
...続きを読む

Qy,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>>V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V\Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

Q白山スーパー林道や周辺の紅葉

白山スーパー林道の紅葉ピーク期間はいつくらいですか

また、白山スーパー林道にわざわざいかず白川郷や白山白峰吉野や奥越方面など山間部方面でドライブがてらで素晴らしい紅葉が見れるとこはありますか? それとも白山スーパー林道がいいですか

Aベストアンサー

>白山スーパー林道の紅葉ピーク期間はいつくらいですか

峠付近は10月下旬から見頃が始まって、
全体的には今時期が一番よい季節のようです。
こちらのサイトはわかりやすいですね。
http://www.hakusan-rindo.jp/contents/kouyou/kouyou22/kouyou.html

>それとも白山スーパー林道がいいですか

ここの紅葉はいいですね。抜ける予定があるとか、
親谷の湯に入るとかであれば、高い通行料を払っても
いく価値は十分にあると思います。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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