論理学を下記テキストにて勉強しておりますが、
標記の件で理解できない箇所があったため質問
させて頂きます。
テキスト:論理学入門~日本放送出版協会(三浦俊彦)

∃xFxと∀xFxの関係について
 ∃xFx≡¬∀x¬Fx
 ∀xFx≡¬∃x¬Fx
と記載があり、この点において
 ¬∀x¬Fx は丁寧に書くと、¬(∀x(¬(Fx)))
 ¬∃x¬Fx は丁寧に書くと、¬(∃x(¬(Fx)))
と補足されていましたが、なぜ丁寧に書くと、上記のように
なるのかが理解できません。というのも、丁寧に書かれた
式を分配法則により展開すると、それぞれ
 ¬(∀x(¬(Fx)))→¬(∀x)¬(¬(Fx))→¬∀xFx
 ¬(∃x(¬(Fx)))→¬(∃x)¬(¬(Fx)))→¬∃xFx
になると思うからです。

私の考え方の、どこに誤りがあるのか、お知恵の拝借を
お願い致します。

A 回答 (3件)

先の方と同じ意見です。

「丁寧に書くと」というのは、本来はこっちという意。

>分配法則を教えて
とお書きですが、その入門段階に居られるのですから、そこにこそ『考え方の誤り』があるのではありませんか。
この世の中に【分配法則】という名の法則は確かにいろいろありますが、あなたが勉強中のそのテキストに、件の式が登場する以前に書かれていた「分配法則」それ以外に、当面は、他に「分配法則」は無い。そのテキスト外部からそのテキストの流れに介入するような「法則」を勝手に持込んだら、「論理学入門」は滅茶苦茶になる、と私は思います。

一言で言うなら、勝手に分配するな、分配法則がある場合にのみできるのだ。

暴言のほど、平にご容赦を。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

勝手に分配法則を適用しようとしていたこと自体
そもそも間違っていたんですね。

それにより、論理学が滅茶苦茶になることが
よく解りました。

手厳しいご意見でしたが、内容は実のあることで
感謝しております。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/15 11:53

>私の考え方の、どこに誤りがあるのか、お知恵の拝借を


お願い致します

「丁寧に書くと」というのは「誤解さえなければカッコを略して書いてもいいよ」ということ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

よろしければ、量化子と否定を含んだ命題についての
分配法則を教えて頂けませんでしょうか?

甚だ無礼で申し訳ありません。

お礼日時:2011/06/15 08:14

当方、専門家ではありませんが・・・



全称記号(ないし存在記号)と命題関数(術語)との組み合わせ全体の否定に対し、分配法則を用いることはできないのではないでしょうか?

無論、命題関数の組み合わせ(andやor)全体の否定については、分配法則が適応されます。

また、
>>>http://bach.istc.kobe-u.ac.jp/lect/tamlab/logic. …
∀xP(x) = P(a1) ^ ・・・ ^ P(an)
∃xP(x) = P(a1) v ・・・ v P(an)
<<<
なので

¬(∀x(¬(Px))) = ¬(¬(P(a1)) ^ ・・・ ^ ¬(P(an)))
= ¬¬(P(a1)) v ・・・ v ¬¬(P(an))
= P(a1) v ・・・ v P(an)
= ∃xP(x)
でしょうし、存在命題の方も、同様に変換可能でしょう。

あと、参考にされている書物の書評も参照された方がよろしいかと存じます。
http://www.amazon.co.jp/product-reviews/41400189 …

こちらも参考になると思います。
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internation …
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>全称記号(ないし存在記号)と命題関数(術語)との組み合わせ全体の
>否定に対し、分配法則を用いることはできないのではないでしょうか?
おっしゃる通りに考えると納得できます。
確かに、そのような前提であれば、式変形は正しくできますね。
しかし、対象領域が有限の場合に限られてしまう点が、疑問として
残ります…。

参考リンク、ありがとうございます。
特にamazonの書評については、私も読みながら参考にしています。
…当該本については、入門書として相応しくないかと考えております。

改めて御礼申し上げます。

お礼日時:2011/06/15 08:07

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