2円の共通点をもたない範囲

Question

二つの円ｘ＾２＋ｙ＾２－２ｘ－８＝０とｘ＾２＋ｙ＾２－２aｙ＋a^2-1=0が共有点を持たないように実数aの値の範囲を求めよ。

図を描いてみてa<α　β＜a＜γ　a＞δ
こんな感じの解になることは想像ができたのですが・・・

いかんせんここから先に進めません＾＾；
どなたか助けてください～（泣）

info22_ · Accepted Answer

#1です。

A#1の補足の質問

失礼しました。

>半径が３のほうの円の中に、半径が１の円がすっぽり入っている場合はどうしたらいいのでしょうか？

ご指摘の場合が抜けておりました。
以下のように修正願います。

>2つの円が共有店を持たないための条件は

次の(1)円が互いの外に存在する場合と(2)大きい方の円の内部に小さい方の円が存在する場合の2つの場合があります。

(1)　2 円の半径の和＜2円の中心間の距離
　r1+ r2 = 3 + 1 ＜ AB = √(1+a^2)

これから
　　4 ＜ √(1+a^2)
　16 ＜ 1 + a^2
　a^2 ＞　15
　aの範囲は　a＜-√15 または　√15＜a

(2) 2円の半径の差 ＞　2円の中心間の距離　　←この場合を追加
　r1 - r2 = 3-1　＞　AB = √(1+a^2)

これから
　　2 ＞ √(1+a^2)
　  4 ＞　1+a^2
　　a^2 ＜ 3
　　aの範囲は　-√3＜ a ＜√3

(1),(2)をまとめると答えは

a＜-√15, -√3＜ a ＜√3, √15＜a

となります。

mister_moonlight · Answer

これは教科書に載ってるはずだ。
共有点を持つ場合、持たない場合、接する場合の3つが考えられる。
問題は、往々にして2つの円が互いに外部にある場合を考え、1つの円が他の円の内部にある場合を忘れやすい事だ、十分に注意したらよい、回答者も。。。。。ｗ

2つの円を　(x-a)＾2＋(y-b)＾2＝r＾2、(x-c)＾2＋(y-d)＾2＝m＾2　とする。r＞0、m＞0.

I.外接の場合を考えよう。

(1)2円が接する場合　2円の中心間の距離が　2つの半径の和に等しい。
√{(a-c)＾2＋(b-d)＾2}＝r＋m

(2)2円が互いに外部にある＝共有点を持たない場合
2円の中心間の距離が　2つの半径の和より大きい　→　√{(a-c)＾2＋(b-d)＾2}＞r＋m

(3)2円が共有点を持つ場合
2円の中心間の距離が　2つの半径の和より小さい　→　√{(a-c)＾2＋(b-d)＾2}＜r＋m

II.1つの円が他の円の内部にある場合

(1)2円が内接する場合　2円の中心間の距離が　2つの半径の差に等しい。
√{(a-c)＾2＋(b-d)＾2}＝｜r-m｜

(2)1円が他の円の内部にあって共有点を持たない場合
2円の中心間の距離が　2つの半径の差より小さい　→　√{(a-c)＾2＋(b-d)＾2}＜｜r-m｜

(3)1円が他の円の内部にあって共有点を持つ場合
2円の中心間の距離が　2つの半径の差より大きい　→　√{(a-c)＾2＋(b-d)＾2}＞｜r-m｜

これらのことは、座標で2つの円を書いてみたら良く分かるだろう。
あとは、これらの事をこの問題に当てはめるだけの事。ここまで教えたら、続きは自分でできるだろう。

info22_ · Answer

x^2 +y^2 -2x-8=0 ⇒ (x-1)^2 +y^2 = 3^2 （半径r1=3, 中心A (1,0)）
x^2 +y^2 -2ay+a^2 -1=0 ⇒ x^2 +(y-a)^2 = 1^2 (半径r2=1, 中心B (0,a))

なので、2つの円が共有店を持たないための条件は

2円の半径の和＜2円の中心間の距離
　r1+ r2 = 3 + 1 ＜ AB = √(1+a^2)

これから
　4 ＜ √(1+a^2)
  16 ＜ 1 + a^2
  a^2 ＞　15

これから aの範囲が求まるよ。

#1です。