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y=x^3 ...(1) 上の接点(a,a^3)における接線の方程式は
y=3(a^2)(x-a)+a^3 → y=3(a^2)x-2a^3 ...(A)
y=-(x-4/9)^2 ...(2) 上の接点(b,-(b-4/9)^2)における接線の方程式は
y=-2(b-4/9)(x-b)-(b-4/9)^2 → y=-2(b-4/9)x+b^2-16/81 ...(B)
(A),(B)の接線が一致するとき、その接線が共通接線となるから
(A),(B)の右辺の各次の係数を等しくなることから
3(a^2)=-2(b-4/9) ...(C)
-2a^3=b^2-16/81 ...(D)
(C),(D)を連立させて、a,bについて解けば
(a,b)=(-4/3,-20/9),(4/9,4/27),(0,4/9) ...(E)
(E)の3つのaを順に(A)に代入すれば、3本のそれぞれの共通接線が求まる。
すなわち、3つのaに対する共通接線を求めると
a=-4/3 → y=(48/9)x+(128/27)
a=4/9 → y=(16/27)x-(128/729
a=0 → y=0
となります。
元の(1),(2)のグラフ(それぞれ黒実線、青実線のグラフ)と3本の接線のグラフ(赤実線)を図にして添付しますので、ご確認ください。
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