べき級数で解く微分方程式 ２問目

次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。

　　　　　x^2 * (dy/dx) - y = x^2

解答
べき級数展開から次の式を得る。

　　　　　x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^2

xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、

　　　　　a[0] = 0
　　　　　a[1] = 0
　　　　　a[2] = -1
　　　　　a[n] = (n-1) a[n-1]　　　　　(n>=3)

なる関係式を得る。これより、n>=3について

　　　　　a[n] = (n-1) ! * a[2] = -(n-1) !　　　　　←この式を求めたいです

となる。したがって、微分方程式の級数解として

　　　　　y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i

を得る。

・・・と本に書いてあります。
　　　　　a[n] = (n-1) ! * a[2]
の導き方が分かりません。
自力で
　　　　　x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a_[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a_[i] * x^i ) = x^2
が
　　　　　-a[0] - a[1] * x + Σ[i=2,∞] [ { (i+1) * a_[i-1] - a[i] } * x^i ] = x^2
になることは分かりました。それで、

i=0:
-a[0] = 0
a[0] = 0

i=1:
-a[1]x = 0x
a[1] = 0

i=2:
(a[1] - a[2])x^2 = 1x^2
(0 - a[2]) = 1
a[2]) = -1

i=3:
{ (3-1) a[2] - a[3]}x^3 = 0x^3
2a[2] - a[3] = 0
2(-1) - a[3] = 0
-2 - a[3] = 0
- a[3] = 2
a[3] = -2

i=4:
{ (4-1) a[3] - a[4]}x^4 = 0x^4
3a[3] - a[4] = 0
3(-2) - a[4] = 0
-6 - a[4] = 0
- a[4] = 6
a[4] = -6

i=n:
{ (n-1) a[n-1] - a[n]}x^n = 0x^n
(n-1) a[n-1] - a[n] = 0
- a[n] = - (n-1) a[n-1]
a[n] = (n-1) a[n-1]

ここまでは出来ましたけど、この式を使ってn>=3の場合を足していったら
　　　　　a[n] = (n-1) ! * a[2]
になるんですよね？
（ a[2] = -1 と分かっているのでその次の式はいいとして、）
この階乗はどうやって出せばいいんでしょうか？
i=3 と i=4 を見ていると階乗になりそうなのは分かります。
どうか教えてください。お願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/08 21:37

a[n]=(n-1)a[n-1](n≧3)

ということですが，両辺を(n-1)!で割ってみると，

a[n]/(n-1)!=(n-1)a[n-1]/(n-1)!

この右辺は(n-1)!=(n-1)(n-2)!に注意すると

a[n-1](n-1)/(n-1)!

=a[n-1](n-1)/{(n-1)(n-2)!}

=a[n-1]/(n-2)!

こうして

a[n]/(n-1)!=a[n-1]/(n-2)!

b[n]=a[n]/(n-1)!とおくと漸化式

b[n]=b[n-1](n≧3)

が得られます．これは初項a[2]の公差0の等差数列，公比1の等比数列の漸化式といってもいいですが，

b[n]=b[n-1]=・・・=b[2]=a[2]

としたら一発です．すなわち

a[n]/(n-1)!=a[2]

a[n]=(n-1)!a[2]

この回答へのお礼

ありがとうございます。
求めていたのはこういうのです。正直、両辺を(n-1)!で割ってみると、の部分が少し天下り的な気がしますが、そこはNo.4さんのお礼に書いたような定義で階乗になると当たりをつけていると解釈します。

> b[n]=b[n-1](n≧3)
> 初項a[2]の公差0の等差数列　←nが増えても同じ数字(=a[2])
> 公比1の等比数列の漸化式　　←nが増えても同じ数字(=a[2])
> といってもいいですが，
> b[n]=b[n-1]=・・・=b[2]=a[2]

納得です。結局b[n]も初期値のa[2]と同じになる、というのはそうやって表すんですね。覚えておきます。
ありがとうございました！

お礼日時：2012/12/08 22:52

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/10 15:00

先日の回答に、一部誤りがありました。

微分方程式 x^2y' - y = x^2 の解は、正しくは

y = { (定数)∫f(x)dx + (定数) }/f(x)

ただし f(x) = exp( ∫(-1/x^2)dx )　でした。

解 y が x=0 で非正則であることは、同様です。




諸氏の回答への返信から見ても、どうやら、

ベキ級数解が収束しないことについて

それはそれこれはこれ的に考えておられるようで、

問題があるなあと感じます。



もともと、ベキ級数を微分方程式へ代入した式から

a[n] の漸化式を取り出すためには、両辺の級数の

係数比較ができることが前提であり、それには、

少なくとも可算個の x の値について、級数が収束

しなくてはなりません。

Σa[n]x^n が 0 でない収束半径を持てば、それは

叶うのですが、収束半径 0 では、そもそも

a[n] = (n-1) a[n-1] を導くことができません。



a[n] を求めて、解を形式的ベキ級数で表示したが

たまたまそれが収束しなかった…という話ではなく、

Σa[i]x^i が収束しなければ、

最初から、漸化式が立てられないのです。



そこをきちんと理解していれば、教科書としても、

「こういう解き方で解ける場合もあります」と挙げるのに
その解き方では解けない例を出す訳もなく、また、

級数解が収束しない場合への解説が、後の方の章に

分離して書かれることもないでしょう。

執筆者自身が、ベキ級数法をよく理解していない

疑いが濃厚です。その教科書の、他の部分も

よく注意して読んだほうがいいのではないか

と思います。



私の回答も、よく注意して読まないといけない

んだけれども…(笑)


尚、「スパッと解きたい」の顛末ですが、
b[n] = b[n-1] から b[n] が定数列であることを
示すのには、数学的帰納法を使う他はなく、
帰納法を回避したことにはならない…と思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。まだお礼は書けるんですね。
なるほど、収束する／しないというのは私が考えているよりもずっと重要そうですね。確かに収束については軽く考えていました。解けさえすればいいと考えていたんですが、収束しないことによってべき級数で解けないとなれば話は別です。この教科書は少し疑りながら読んだ方が良さそうですね。でも正直、他の教科書よりは噛み砕いて書かれているので、自分には読み易いです。収束について気を付けながら一通り解いてみたいと思います。もし0の点を避けて問題が作られていれば、この解き方はきっとそのまま代用できるんですよね。とりあえず、この問題の横には「収束しないので、べき級数では解けない」との旨を書いておきますね。
「スパッと解きたい」は（何回も書いていますけど）本当はNo.4さんのお礼に書いたような、既に証明済みの公式があるんじゃないかと思っていました（実はまだあると思っています）。
ただ、
> b[n]=b[n-1]=・・・=b[2]=a[2]
と書くと帰納法が必要そうですが、
> b[n]=b[n-1](n≧3)
> 初項a[2]の公差0の等差数列　←nが増えても同じ数字(=a[2])
> 公比1の等比数列の漸化式　　←nが増えても同じ数字(=a[2])
に関しては、等差数列の公式と漸化式は既に証明済みのはずなので、おそらく帰納法は使わなくてもよいはずです。そういう意味で書かれたのではと思い、No.7さんにベストアンサーを差し上げました。
まだまだ勉強しないといけないことがたくさんあります。どうかこれからも宜しくお願いします。
ありがとうございました！

お礼日時：2012/12/12 23:42

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/08 21:05

>その証明をせずに「スパッ」と解きたいんです ..........

「係数比較」を容認する限り、

>　　　　　a[n] = (n-1) a[n-1]　　　　　(n>=3)

は確からしい。
ならば、いまさら「帰納法」を忌避しても意味ないのでは。

それが嫌なら、別のアプローチに切りかえるべき…。

　　

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「確からしい」ではなく、「確か」なものを求めています。
先ほどNo.4さんのお礼に書いた方法は正しくないのでしょうか？
おそらく、No.1さんの方法を漸化式で表すとこんな感じになるのだと思います。
No.4さんのお礼に書いたような方法で解ける方にベストアンサーを差し上げるつもりです。どうかお願いします。

お礼日時：2012/12/08 21:20

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/08 20:32

苦情じゃなく、アドバイスだよ。

ベキ級数法で解が得られない場合の
いちバターンとして、この問題は
是非覚えとくべき。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、べき級数法で解が得られない場合の一例として是非覚えておきます。知らずにコンピューターに計算させて収束せずにハングったら大変ですものね。
この本では、この章の最後の方でべき級数法で解が得られない例を少しやるようです。今から楽しみです。

お礼日時：2012/12/08 20:58

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/08 19:47

>パターンを読んで解く方法だと、最後に証明が要りませんか？

数学的帰納法で示せるパターン？

a_k = (k-1)! * a_2 の成立を仮定して、
a_k+1 = k*(k-1)! * a_2 = k! *a_2
とか。

　　

この回答へのお礼

ありがとうございます。
その証明をせずに「スパッ」と解きたいんですよね。贅沢言って本当にすみません・・・m(__)m・・・でも、ここだけはしっかりやっておきたいです。

「漸化式　階乗　定義」で検索してもなかなか見つかりませんでした。
ただ、一つだけ良さそうなのを見つけました…敵地ですが(笑)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

この
　　　 F(n) = n! として
　　　 F(n+1) = (n+1) × F(n)
　　　 F(1) = 1
はnが増加方向ですが、これを減少方向にして
　　　 F(n) = n!　　（n>=2） として
　　　 F(n) = (n-1) × F(n-1)
　　　 F(2) = -1
…そして、更には、添え字を変えて
　　　 a[n] = n!　　（n>=2） として
　　　 a[n] = (n-1) × a[n-1]
　　　 a[2] = -1
…と定義しても正しいでしょうか？
もし、これが正しいのであれば、
　　　　　(n-1) × a[n-1] = n!
と即座に置き換えられますよね？
どうでしょうか？

お礼日時：2012/12/08 20:37

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/08 19:00

a[n] の求め方は、A No.1 No.2 のようでいいと思うけれども、

そうやって得られた Σ[n=0,∞] a[n] x^n は、収束半径が 0 になる。

もともと問題の方程式は、一階線形微分方程式だから、
型どおりに完全微分形を経由すれば、
y = { ∫f(x)dx + (定数) } / f(x) ただし f(x) = ∫exp(-1/x^2)dx

と陽に表示できる。(この解は、x=0 で正則でない。)

書き下すことができる方程式の解を
収束しない級数で書くことに、何の意味があるだろうか。
べき級数法で解きたいのなら、展開中心は 0 以外に置くべきだ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
苦情は出題者にお願いします。(苦笑)
この本では「こういう解き方で解ける場合もありますよ」程度に紹介しているようです。
収束半径は複素解析でやりましたけど、もうほとんど覚えてないです(^^ゞ。
> f(x) = ∫exp(-1/x^2)dx
なら確かにx=0を入れると定義できない＝微分できない＝正則じゃないですね。

お礼日時：2012/12/08 20:22

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/12/08 16:37

>　　　　　a[2] = -1

>　　　　　a[n] = (n-1) a[n-1]　　　　　(n>=3)

…初めのほうだけ書き出してみると、
　a_2 = -1
　a_3 = 2!*a_2 = (3-1)!*a_2
　a_4 = 3*a_3 = 3*2!*a_2 = (4-1)! *a_2
というパターンみたいですね。

単純な「帰納的推定」で、
　a_4 = (4-1)! * a_2
　　　↓
　a_k = (k-1)! * a_2
とやっちゃいけないのでしょうか？

　　

この回答へのお礼

ありがとうございます。
パターンを読んで解く方法だと、最後に証明が要りませんか？
今回はわざわざi=4まで計算しましたけど、本来ならi=3の時点で分かるべきじゃないかと考えています。
逆に、今回はi=3とi=4の結果から推測していますが、もしかするとi=5やi=120からはまったく違う数式が見えてくるかもしれません（見えてこない可能性の方がずっと高いですが）。
という理由で、等比数列、階差数列、漸化式あたりで何か公式はありませんか？無いのかもしれませんけど・・・。

お礼日時：2012/12/08 19:17

No.1 回答者： f272 回答日時： 2012/12/08 16:37

a[n] = (n-1) a[n-1]

ここまでわかっているのなら、これを繰り返し使う。
a[n] = (n-1) a[n-1]= (n-1)(n-2) a[n-2]= (n-1)(n-2)(n-3) a[n-3]= ... = (n-1)(n-2)(n-3)...2 a[2]
ですね。

この回答への補足

訂正：
この式を使ってn>=3の場合を足していったら
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
この式を使ってn>=3の場合を掛けていったら

補足日時：2012/12/08 19:01

この回答へのお礼

ありがとうございます。
出来れば、公式を用いたものはないでしょうか？今回は先に答えが分かっているので、なんとなく導けそうですけど、答えが分からない場合は自信がありません。
等比数列、階差数列、漸化式あたりで何か公式はありませんか？
正直、私はそれらの定義も忘れています・・・すみません・・・。

お礼日時：2012/12/08 18:59