ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

二重帰納法の問題と答えをセットでください。

問題集探してもないんで・・・

明日までのレポート課題です。

A 回答 (1件)

つまり


レポートの課題をやってください
ってこと?
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Q二重帰納法の計算

Σ[k=1→n]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)
=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・・(n+L+1)/(L+2)

この式を帰納法で証明するんですけど、
1,n=a+1,L=b
2,n=a,L=b+1
の時を仮定して
3,n=a+1,L=b+1の時に成り立つ。
とやるのかな??と思ってるんですけど、

計算がうまくできなくて(証明の計算)悩んでいるんですよ~。
よかったらヒントをください。

↓計算した結果

1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)

2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)

3,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)

Aベストアンサー

>↓計算した結果
>1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)
>2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)
>3,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
↑3がちょっと違います。修正しておきました。

n=a ,L=1 のとき ・・・ア
左辺=a(a+1)(2a+1)/6 + a(a+1)/2=a(a+1)(a+2)/3
右辺=a(a+1)(a+2)/3
で成り立つ
n=1 ,L=b のとき ・・・イ
左辺=(b+1)!
右辺=(b+2)!/(b+2)=(b+1)!
で成り立つ
n=a+1 ,L=b のとき成り立つと仮定すると ・・・アア
>1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)  ・・・アアア
n=a ,L=b+1 のとき成り立つと仮定すると ・・・イイ
>2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)  ・・・イイイ
ここで Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1) を考える
Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=イイイ + (a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(b+3)/(b+3)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
よってn=a+1,L=b+1の時に成り立つ。
感想ですが、この証明にアアアの結果は使っていない。
使わなくても証明できるということは、やはり「二重帰納法」なんて必要がなかったってことじゃないですかね?

>↓計算した結果
>1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)
>2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)
>3,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
↑3がちょっと違います。修正しておきました。

n=a ,L=1 のとき ・・・ア
左辺=a(a+1)(2a+1)/6 + a(a+1)/2=a(a+1)(a+2)/3
右辺=a(a+1)(a+2)/3
で成り立つ
n=1 ,L=b のとき ・・・イ
左辺=(b+1)!
右辺=(b+2)!/(b+...続きを読む


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