林先生VS世界の超天才のモンティホール・ジレンマ

Question

本来は、TV番組のカテかもしれませんが、
こちらの方々の方が興味・関心を持って観ていらしたと
思われますので、是非ご回答お願いします。

東海地方では、昨夜、林先生VS世界の超天才という番組が放映され、
その中で、天才としてサヴァント女史が取り上げられていました。

当然、モンティホール・ジレンマの一件が出てくるわけで、
その説明を東進ゼミ？の同僚の先生がされていましたが、
それが、「トンデモ」説明だったようなのです。

私は、他ごとをしながらチラ見してたので、
よく分かりませんが、
「1万件のクジで、9998件ハズレが出たら、
あなたは、当然、答を変えるでしょ」的な説明だったのです。

ここで重要なのは、9998件のハズレを見せた人が
「それらがハズレであることを知っていて見せた」かどうかですが、
説明した人は、そこに言及しましたか？

前置きが長くてスミマセン。
質問は、知っていてハズレを示したか、という核心部分です。
宜しくお願いします。

私は企業で統計を推進する部署にいるんですが、
こういうのって、社内で問合せがあるのです。
（特に偉い人、わからんかったので説明しろ、とか・・・）

rabbit_cat · Accepted Answer

#10さん
まさに、私も、#5の回答の段階では、あなたと全く同じように「とにかく結果としてハズレが示されたこと」のみが重要であって、扉を開けた人が正解を知っていたかどうかは本質ではない、と考えていました。

しかしながら、#8に計算を示しましたが、モンティがあらかじめ正解を知っていて意図的にハズレの扉を開けた（さらに、モンティがあらかじめ正解を知っているという事実をプレイヤーも知っている）、のと、正解を知らないモンティがたまたまハズレの扉を開けた、のでは、状況が全く違うことになってます。

#8の計算から言えることは、
・モンティがあらかじめ正解を知っている（したがって100％の確率でハズレの扉を開ける）
（かつ、プレイヤーも、このの事実を知っている）
という条件が成り立つ場合は、プレイヤーが選択を変えないと正解の確率は1/3になる（したがって選択を変えたほうが良い。）

一方で、モンティがたまたまハズレの扉を開けた場合であれば、選択を変えないプレイヤーの正解確率は1/2、したがって、選択を変える必要はない

ということです。

Dio_Genes · Answer

#1, 2です。

他の回答者様のご回答を拝読していて、「司会者がアタリの箱がどれか知っている」ということが問題になっているのをみて、ちょっと考えるところがありました。

それは質問文の、

>知っていてハズレを示したか、という核心部分

というところです。直接的にこれに答えるなら「ハズレが示されたということが大事なのであって、知っていたかどうかは問題ではない」ということになります。例えば、司会者がうっかりアタリを開ければ、ゲームはやり直しとなります。解答者の最初の選択の後、ハズレが示される、ということがポイントなのです。当該番組では、ハズレが示される、ということはほぼ誤解なく伝わるものだったと思います。

当該番組では触れていませんでしたが、このモンティホール問題では、「最初の選択を変えるとアタリ確率2倍と天才が正しく指摘したのに対し、名だたる数学者が間違えてアタリ確率は変わらない」ということがあったという逸話を紹介されることがよくあります。

それは、数学者にモンティホールのゲームルールが正しく伝わっていなかったことが原因だったようです。おそらくですが、次のように伝わったものと思われます。

「解答者が三つから一つを選んだあと、ハズレが一つ取り除かれる。残った二つから『最初にどれを解答者が選んだか分からないようにして』解答者に再び選ばせる。」

この場合はアタリを選ぶ確率は1/2です。上記のように書けば、モンティホール問題と似て非なるゲームと分かりますが、物は言いようです。説明する側が正しく伝えたつもりでも、上記のように解釈されることはよくあります（例えば『』内を言っていない、など）。

つまり、読みようによっては差が分かりません。「最初にどれを選んだか分からない」と「選んだ一つがアタリかハズレか分からない状態で、変えるか否かを選択する」ということは、見分けにくいものです。

しかし、モンティホールゲームでは、解答者は最初に選んだのがどれなのかを知っています。変えるかどうか選択する、というのは最初に選んだものを知っていなければできません。単純に選び直すわけではないのです。解答者は、最初に選んだのがどれかという情報を利用して、アタリを選ぶ確率を上げることができるのです。

モンティホール問題で「知っている」ことが大事だとすれば、それは司会者ではなく、解答者のほうです。司会者が「知っている」ことは単にゲームのルールに過ぎません。それは予め解答者にも分かっており、解答者・司会者の戦術に影響せず、アタリを選ぶ確率には寄与しません。

Mathmi · Answer

モンティホール問題を言い換えると、「同じゲームを複数回行った、常に選択を変える場合と変えない場合、外れが示されてから決定する場合の、どれが一番正解率が高いか」という問題なので。
（常に変更しない場合の正解率は1/3、外れが示された後に決定した場合の正解率は1/2、常に変更する場合の正解率は2/3。故に常に変更する場合の正解率が最も高い。）

解答No1にて上げられた場面でも「意思決定は外れが示された後に行う」と取れる言い方であり、解説としては不適切だと思います。
わざわざ外れを示さなくても「あなたが選んだ一つと、残りの全て、どちらに正解があると思いますか？」の方が分かりやすいでしょうし。

rabbit_cat · Answer

#5の回答は間違っていて、やっぱり、モンティがあらかじめ正解を知っていたかどうか、は本質なんですね。
なるほど。勉強になりました。

オリジナルの扉3つの場合に戻って、真面目に場合わけして、ベイズの定理で計算してみると。

3つの扉を1,2,3として、正解の扉をA、プレイヤーが最初に選んだ扉をB、（ただしA,Bは、1から3のどれかをそれぞれ1/3で取る離散確率変数）、
モンティが開ける扉をC、（Cは1から3を、何らかの確率にしたがって取る確率変数、ただし、B≠C）

として、モンティがハズレの扉を開けたという条件のもとで、プレイヤーが選択を変えない場合に正解する条件付確率は、ベイズの定理より
P(A=B|A≠C) = P(A≠C|A=B)P(A=B)/P(A≠C)
で

P(A≠C|A=B)=1
P(A=B)=1/3
問題は分母のP(A≠C)で、モンティがあらかじめ正解知らないで、たまたまハズレの扉を開けた場合は、
P(A≠C)=P(A≠C|A=B)P(A=B) + P(A≠C|A≠B)P(A≠B) = 1*1/3 + 1/2*2/3 = 2/3

モンティがあらかじめ正解の扉を知っていたなら
P(A≠C)=1

ということで、分母の値が異なるということなんですね。
なるほど。

p-p · Answer

僕もさっき、絵に書いたらわかりました。

最初があたりだった場合、変えるとハズレです。
つまり、変えないということは最初にあたりを引く確率になります
ということは１/3ですね。

最初にハズレを引いた場合、司会者がハズレを見せていますので
残った方が必ずあたりになります。つまり変更すれば100％あたりです。
変えないということは最初にハズレを引いたまま変えないということになります。
（当然、開けるまでに最初の選択がハズレかどうかは分からないので確率の問題です。）

最初にハズレを引く確率＝変えれたら当たる確率は2/3なので

最初にあたりを引く確率（選択を変更しないまま当たる確率）の1/3よりも2倍になります。

なので変えた方が確率的に2倍になります。

nacci2014 · Answer

rabbit canさん

この法則は当初、最初に指名したクジ(当時はドア)より、後で二択になった残った方が当選確率が高いと言うことだけをテレビ番組司会者であるモンティホールが述べただけのことで その時に数学者をはじめ全米各地から異論が殺到したため、数多くあるクジからハズレだけをチョイスして当たりを入れたクジを残すと言う作業は わかりやすく言うならば、ホストは最初から当たりクジを知っていたと定義されるべきです。と述べています。

今回の放送についても、ホストがあらかじめ知っていたとは言われてませんが
すべからくハズレクジを提示するのは、例題として成立させるなら、ホストは当たりクジを知っていた

だからこそ当たりクジを残した全てのハズレクジを明示できたとした方が筋が通るでしょう

林先生の番組も
残した２つのクジのうち
ひとつは当たりなんでしょう？よくハズレだけをチョイスできましたね。

それは問題をミステリアスにするためにわざわざ言わないでおいた。しかしながら言わなかったことが理解を妨げた。つうとこでしょう。

最初の選択は全体分の１
残された２つのうち自身が選ばなかったものは
残りの全確率
従って、選択を変えた方が
当たる。つうこと

rabbit_cat · Answer

#1の方が指摘されていますが、
モンティ（ハズレの扉を開ける人）が、「あらかじめ正解を知っていたかどうか」は、関係ないですよ。

重要なのは、「最初に選んだ扉以外の999999個の扉の中から、結果として999998個のハズレの扉を選んで具体的に示した」という事実のみであって、
扉を開けた人が正解の扉を知っていたか、あるいは正解を知らないで闇雲に開けたら偶然そうなったか、は結論には全く影響しません。

それこそ、もし、扉を開けた人が正解を知らなければ、闇雲に開けた999998個の扉が全てハズレの確率はほぼゼロなわけで、これが、どれほど特殊な状況であるか、は直感的にも理解できると思いますが。

s_end · Answer

お世話になります。
ウィキペディアに載っている、
”「最初のドアの選択の時に、当たりのドアを選ぶのではなく、ハズレのドアを選ぶ」
というつもりで、この賞品当てクイズに臨めばわかりやすい”
という解き方が私にとってはとても理解しやすかったので披露します。

------------

ウィキペディアより
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

最初にハズレのドアを選ぶ方法[編集]
当たりのドアを選ぼうとせず、わざとハズレのドアを選ぶ。
その後モンティが、もう一つのハズレのドアがどれかを教えてくれるので、残ったドアが当たりのドアである。
当たりのドアがどれか判明したので、最初に選んだハズレのドアから当たりのドアに変更する。
最初にハズレのドアを選ぶことができれば、上記手順で確実に当たりのドアを開けることができる。最初にハズレのドアを選ぶことができる確率は2/3であるので、この手順に従えば（つまりドアを変更すれば）2/3の確率で当たりのドアを開けることができる。

------------

私はこの説明方法でとてもよく理解が出来ました
この数学者の唯一の失敗は言葉足らずで
「2度目のドア選択で、ドアを変えたほうが確率が二倍に上がる」
と言ってしまったことです。
これについてもウィキペディアに説明があります。

----------------

ウィキペディアより

これを変形させた考え方もできる。
最初プレイヤーがあたりを引く確率は1/3である。
ドアを変更しない場合はそのまま1/3の確率である（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）
モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である。つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合にあたりを引く確率である。
最初の選択であたりを引く確率は1/3、はずれを引く確率は2/3である。
ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は2/3と考えられる。

----------------

『つまり、3つのドアの中から、当たりのドアを選択する確率は、
本来は1/3であるところ、2度目のドア選択でドアを変えれば、それが1/3から2/3になる。』
「即ち、確率は2倍に上がる」

という事なのですが、多くの人はこの数学者の説を、

司会者がハズレのドアを教えてくれた後の2つのドアの中から当たりを引くのは確率１/2。
この確率が2倍に上がる、ということは、2/2、即ち100%、絶対に当たる、ということになる。
「ドアを変えれば絶対に当たる」
なんてそんなわけないだろ！！！

と短絡的にこの説を拒否したわけです。

1/2　*　2　＝　2/2　＝　100%　じゃないんです。
1/3　*　2　＝　2/3

だから確率は2倍に上がる、なんですね。

彼女の説明もすこし不足だったと思いますよ。
（番組内での説明もね）

----

それから、こんなことを説明しなくちゃならない、貴方の会社でのつらい立場、お察しします。
お疲れ様です。

nacci2014 · Answer

この説明ではトンデモですね。
これは、三個以上なら百個でも百万個でもよいのですがホストとプレーヤーの駆け引きにより確率が変わるという理論でその正解値が数学的にあっていても、日常的な概念からは受け入れがたい理論になるのでモンティホール問題と言われているものです。
番組ではナレーターも林先生もよく理解されていなかったようです。
名物先生林先生を差し置いて説明するのも気がひけますが例題を説明します。

例題は百万個のクジの中に一個だけが当たりがあるというものです。

この類いの問題は三個以上であれば、成立します。

ルールは
(1)プレーヤーはクジを任意に一本選ぶ
(2)ホストは当たりクジがどれなのかを知っている
(この説明が足りなかった)(3)ホストはプレーヤーが選んだものと任意の一本のクジを覗いた全てのハズレを披露する
(4)残った２本のクジをプレーヤーは選び変えられるとします。さて、あなたはクジを変えますか？

と言うのがモンティホール問題です。

例題が百万本のクジでしたから、(1)でプレーヤーが選択した際の当たる確率は百万分の一です。(4)で変えなくても百万分の一の確率のままです。しかし、残った一本のクジの当選確率は
百万分の999999になります。ということでクジを変えた方が断然お得と言う問題。

三本だと現実的なんですよ。(1)でチョイスした時の確率が三分の一ですが、ハズレをひとつ見せているので(4)においてホストが残したクジの当選確率は三分の二となり、クジを変えた方が二倍当選確率が上がるというわけです。

全部を引いたら、確率は１ですね。最初の(1)で選んだ確率は全体分の１に過ぎませんが、(4)でホストが残したクジは全体分の全体‐1になるんです。２つ残った時点で選べなら確率は二分の１ですが、すでに全体から選んだ段階の最初のプレーヤーのクジはあくまでも全体分の１にすぎないからホストが選んだクジの方が当たる確率が高いと言うことです。
上司にはそう説明したらいかがですか？

Dio_Genes · Answer

#1ですが、モンティホール問題の解き方の一例を示しておいた方がいいかもしれません。

箱A、B、Cがあり、Aがアタリ、B、Cがハズレだとします。司会者はそのことを知っており、解答者は知らないとします。そして、モンティホールのルール通りでどうなるか見てみます。打ありかたの一例として、以下のように場合分けをしてみます。

Ａ．解答者が最初にAを選ぶ場合
　以下のように場合分けが生じます。
　・司会者はBを開ける
　　→1.解答者はAを選んだまま→○アタリ
　　→2.解答者はBに変える→×ハズレ
　・司会者はCを開ける
　　→3.解答者はAを選んだまま→○アタリ
　　→4.解答者はCに変える→×ハズレ

Ｂ．解答者が最初にBを選ぶ場合
　司会者はCを開けるしかありません（Aは当たりなので開けられない）
　→5.解答者はBを選んだまま→×ハズレ
　→6.解答者はAに変える→○アタリ

Ｃ．解答者が最初にCを選ぶ場合
　司会者はBを開けるしかありません（Aは当たりなので開けられない）
　→7.解答者はCを選んだまま→×ハズレ
　→8.解答者はAに変える→○アタリ

解答者が最後に選ぶ行為を取り出し、「選んだまま」と「変える」だけに分けてみます。

1.解答者はAを選んだまま→○アタリ
3.解答者はAを選んだまま→○アタリ
7.解答者はCを選んだまま→×ハズレ
5.解答者はBを選んだまま→×ハズレ

2.解答者はBに変える→×ハズレ
4.解答者はCに変える→×ハズレ
6.解答者はAに変える→○アタリ
8.解答者はAに変える→○アタリ

どちらもアタリ・ハズレが2個ずつ、同じになりますよね。このことが、最初は多くの人が「変えても変えなくても同じだ」と思った理由の一つではないかと思います。でも、シミュレーションすると、結果が違っている（モンティホールの番組の過去の履歴を調べても違うことが分かるはず）。

実はA、B、Cの三つの場合分けが間違っているのです。単純にそう分けてはいけない。B、Cには確率計算として考慮すべき選択肢が隠されてしまっているのです。それを、Bを例にとって考えてみます。

再掲>Ｂ．解答者が最初にBを選ぶ場合
再掲>　司会者はCを開けるしかありません（Aは当たりなので開けられない）

ここです。これに相当するAの場合の部分を再掲してみます。

再掲>Ａ．解答者が最初にAを選ぶ場合
再掲>　以下のように場合分けが生じます。
再掲>　・司会者はBを開ける
再掲>　・司会者はCを開ける

開けられるハズレが2個あるから、場合分けが生じ、起こり得るケースとしてカウントしたのでした。Bのばあいはどうでしょうか。Bを開けるという選択肢は司会者にはありません。解答者がBを開けていますからね。

しかし、確率計算のための場合分けの数としては存在するのです。司会者がハズレを開けて見せないというゲームなら起こり得るもので、ハズレを開けるからといって、場合分けで生じるイベントを無視すると確率計算が狂います。

もし解答者がBを選び、司会者がBを開けるという行為は、「強制的にハズレを選んだ行為をキャンセルする」という結果になります。だから、できないんですけど、確率計算を正しくやるためには、「それでも解答者がハズレのBを選んだまま」というイベントもカウントする必要があります。Bは実は以下のように考える必要があります。

Ｂ’．解答者が最初にBを選ぶ場合
　・司会者はCを開ける
　→5.解答者はBを選んだまま→×ハズレ
　→6.解答者はAに変える→○アタリ
　・司会者はBを開ける
　→5'.解答者はBを選んだまま→×ハズレ
　→6'.解答者はAに変える→○アタリ

そしてゲームのルールにより、同じものは開けられなのですから、5'は強制的に排除されます。場合分けしてみたものから排除するのは、こういうものだけにしなければなりません。すると、ハズレ1に対しアタリ2ということになります。

つまり、BとCのアタリは2倍の重みがあるわけです。場合分けは以下のように書き換えなければなりません。

1.解答者はAを選んだまま→○アタリ1
3.解答者はAを選んだまま→○アタリ1
7.解答者はCを選んだまま→×ハズレ1
5.解答者はBを選んだまま→×ハズレ1

→当たる確率は、2/4＝1/2（二つに一つだから勝率5割という直感に合致する）

2.解答者はBに変える→×ハズレ1
4.解答者はCに変える→×ハズレ1
6.解答者はAに変える→○アタリ2
8.解答者はAに変える→○アタリ2

→当たる確率は、(2+2)/(1+1+2+2)=4/6=2/3（最初の1/3の2倍、5割以上という直感に反する）

最初の選択を変えない場合でも、ハズレが示されたことによって期待が高まります。しかし、司会者の行動を無視するのと同じですから（例えば、見てもなお固執するのも、最初の選択後はずっと居眠りしているも同じこと）、最初から考えるなら勝率は1/3です。

あるいは、最初の選択から変えないと決めておけば、司会者が順番に扉を開けて行きアタリが示されるのを眺めているのと同じということです。自分の選んだドアが最後に開けられるだけに過ぎません。そう考えると、勝率1/3であるのは当然です。

しかし、ハズレを示されてから選択を変えれば、もっと当たるようにできるわけです。それは、司会者がわざとハズレを選んでやって、解答者のハズレを選ぶ行為を排除してくれたからなのです。

P.S.

NHKの「ためしてガッテン」でも取り上げられています。その解説のほうが分かりやすいかもしれません。

http://www9.nhk.or.jp/gatten/archives/P20110706.html
（の「今回のお役立ち情報」のところ）

林先生VS世界の超天才のモンティホール・ジレンマ

#10さん

#1, 2です。

モンティホール問題を言い換えると、「同じゲームを複数回行った、常に選択を変える場合と変えない場合、外れが示されてから決定する場合の、どれが一番正解率が高いか」という問題なので。

#5の回答は間違っていて、やっぱり、モンティがあらかじめ正解を知っていたかどうか、は本質なんですね。

僕もさっき、絵に書いたらわかりました。

rabbit canさん

#1の方が指摘されていますが、

お世話になります。

この説明ではトンデモですね。

#1ですが、モンティホール問題の解き方の一例を示しておいた方がいいかもしれません。

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