林先生VS世界の超天才のモンティホール・ジレンマ

本来は、TV番組のカテかもしれませんが、
こちらの方々の方が興味・関心を持って観ていらしたと
思われますので、是非ご回答お願いします。

東海地方では、昨夜、林先生VS世界の超天才という番組が放映され、
その中で、天才としてサヴァント女史が取り上げられていました。

当然、モンティホール・ジレンマの一件が出てくるわけで、
その説明を東進ゼミ？の同僚の先生がされていましたが、
それが、「トンデモ」説明だったようなのです。

私は、他ごとをしながらチラ見してたので、
よく分かりませんが、
「1万件のクジで、9998件ハズレが出たら、
あなたは、当然、答を変えるでしょ」的な説明だったのです。

ここで重要なのは、9998件のハズレを見せた人が
「それらがハズレであることを知っていて見せた」かどうかですが、
説明した人は、そこに言及しましたか？

前置きが長くてスミマセン。
質問は、知っていてハズレを示したか、という核心部分です。
宜しくお願いします。

私は企業で統計を推進する部署にいるんですが、
こういうのって、社内で問合せがあるのです。
（特に偉い人、わからんかったので説明しろ、とか・・・）

No.11 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/12/12 16:37

#10さん

まさに、私も、#5の回答の段階では、あなたと全く同じように「とにかく結果としてハズレが示されたこと」のみが重要であって、扉を開けた人が正解を知っていたかどうかは本質ではない、と考えていました。

しかしながら、#8に計算を示しましたが、モンティがあらかじめ正解を知っていて意図的にハズレの扉を開けた（さらに、モンティがあらかじめ正解を知っているという事実をプレイヤーも知っている）、のと、正解を知らないモンティがたまたまハズレの扉を開けた、のでは、状況が全く違うことになってます。

#8の計算から言えることは、
・モンティがあらかじめ正解を知っている（したがって100％の確率でハズレの扉を開ける）
（かつ、プレイヤーも、このの事実を知っている）
という条件が成り立つ場合は、プレイヤーが選択を変えないと正解の確率は1/3になる（したがって選択を変えたほうが良い。）

一方で、モンティがたまたまハズレの扉を開けた場合であれば、選択を変えないプレイヤーの正解確率は1/2、したがって、選択を変える必要はない

ということです。

この回答へのお礼

みなさん、ご回答ありがとうございます。
#11さん、正解で締めて頂き、大変ありがとうございます。
回答者の中にも、司会者がハズレを知っていることは関係ないなどと、モンティの条件付き確率の問題を理解されていない方が極めて多いことに驚かされました。

私の質問は、東進ゼミの先生が例の１万件だか100万件のくじの説明で「司会者は答を知っていてハズレを示した」という、核心部分を漏らさず説明したかどうかです。
その回答は、#１さんから、もたらされた情報より、どうやら言及していなかったようです。
偶然でハズレばかり開いたのなら、残り2件の確率は1/2づつで、差はありません！
東進の先生がテレビで堂々と間違えるのだから、多くの方が理解できなていなくても当然かもしれません。
あの解説は「トンデモ」解説です。

モンティの問題を誤解されている方に説明します。
事前確率は、AもBもCも1/3です。
仮にAが選択され、司会者はCを開けるとします。
そのCを空ける確率が、条件によって変わります。
これが、モンティの問題の核心部分です。

以下が、核心部分である条件付き確率です。Aを開けるという選択肢はないとした上で、
・A当たりのとき、司会者はBでもCでも選択できるので、Cを開ける確率は1/2
・B当たりのとき、司会者はCしか開けることができないので、Cを開ける確率は1
・C当たりのとき、Cを開ける確率は0

周辺確率＝事前確率×条件付き確率
事後確率＝周辺確率÷周辺確率の合計

事前確率＿＿条件付き確率＿周辺確率＿＿事後確率
A当たり1/3＿1/2＿＿＿＿＿1/6＿＿＿＿1/3
B当たり1/3＿＿1＿＿＿＿＿1/3＿＿＿＿2/3
C当たり1/3＿＿0＿＿＿＿＿＿0＿＿＿＿＿0
＿＿＿＿＿＿周辺確率の合計1/2

司会者がCの扉を開いて見せたという観測事実により、事後確率が計算され、
プレーヤーは回答を変更した方が有利になります。
Bの事後確率はAの事後確率の2倍だからです。

司会者が答を知らずに偶然Cを開けたのなら、そのようなケースでは、
条件付き確率は全て1/2づつで、事後確率は変化しません！

これはベイズの定理の問題であり、本質は#11さんのおっしゃるとおりです。

お礼日時：2014/12/13 00:58