先日、 同様の質問をしました。 ある高校の先生が、 焦点を通らなければ、 直線群の包絡線として、 もとの楕円と 焦点を共有する 内側に、楕円、または、双曲線が得られる、、、、とおしえてもらいました。
この考えで、は、 焦点が同じ、2つの楕円内で、ビリヤードの球が、軌跡を描く、、、、
これも、求めるのには、結構、めんどくさいです(小楕円に接する直線と 大楕円との交点を求め、そこから、 小楕円に、もう一方の接線を引き(求め)、また、その直線と、大楕円との交点求め、、、、5~6回すれば、くたびれます。、、、
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
条件が足りてないような気がしますが。
そのx軸と平行な、x軸より僅かにyが大きい直線を考えてください。
この直線が、外側の楕円の右端に当たったとき、その反射直線はどういう軌道を描くのか。
内側にで楕円ができるとしても、その図の楕円より、ずっと平べったい楕円ができるような気がするんですが。
あるいは、外側の楕円の接線がx軸に対して45度になるところから、x軸に平行に、直線を引けば、3回反射して元のところに戻るでしょう。
その四つの直線を接線とする楕円ができるなら、その形状は容易に判るでしょうが、他の接線はどういう条件なんでしょうか。
例えば、外側の楕円の接線との角度は、外側の楕円のどこに交わっても一定である、とか。
もしそうなら、
外側の楕円の接点から話を始めた方が早いのでは。
その接点(x1,f(x1))と接線から、角度θの直線を引く。
次に(x1+d,f(x1+d))についても同様に処理し、それらの直線の交点を見る、とか。
dを極限に小さくすれば、その交点は内側の楕円の接点でしょう。厳密な議論は知りませんが。
接線がその交点を接点に持つその直線でしょう。
もう少し細かくすると、両直線の僅かに内側に楕円があり、両直線を足して二で割った辺りが接線でしょう。
やり方は完全に忘れましたが、どうにかして積分すれば、その交点の軌跡の式が得られるのでは。
座標とその点の接点の傾きが判れば、たぶん元の式が出るでしょう。
y=x^2でもそうでしょう。
やってないのでよく判りませんが、θ一定で(x1,f(x1))、(x2,f(x2))....、とするなら、表計算ソフト等を使わないと辛いでしょう。
あなたが何をどうやっているのかさっぱり判りませんが。
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