再就職手当について

4月中旬に7年続けた正社員の仕事を自己都合で退職し、ハローワークに登録しました。
退職後、ハローワークの職員の方に確認をとったうえで、週4日、1日4時間のパートをしつつ就職活動をし、6月中旬よりハローワークの紹介を受けた仕事での採用が決まりました。

雇用保険の初回認定日は6月3日、パートは6月8日に退職予定です。

このことより、再就職手当を受け取れると思っていたのですが、本日、パート先にお願いしていた就労証明書が届き、そこには1日4時間、週5日契約であると記載されていました。
就労証明書は、子供の認可保育園入園のために市役所に提出する書類です。

パート先で記入した雇用契約書には、「勤務日数等はシフトによる」としか記載されていません。
面接時には週20時間未満である旨を確認し、その通りに勤務していました。雇用保険には未加入です。

次の認定日に直接、ハローワークの職員の方に聞いてみようと思いますが、上記のケースではすでに、パート先に就職しているとみなされ、今回の雇用保険の失業給付の手続きは無駄になりますか？
なお、再就職手当の適用条件は全て満たしています。

本当は明日にでもハローワークに聞いてみたいのですが、乳児を抱えているためなかなか動けません。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 新しく決まった仕事は週5日、１日6時間勤務です。

    補足日時：2016/05/26 20:00

No.2 回答者： やろた 回答日時： 2016/05/26 20:10

20時間以上で雇用保険。

30時間以上で社会保険加入ですね。

No.1 回答者： やろた 回答日時： 2016/05/26 19:52

週20時間なら雇用関係対象外になります。

再就職手当も、最低雇用が約束されてないと出ません。
16時間では厳しいかも。
最低、週20時間以上。
このままいくより、雇用保険を貰い続けるほうが得になります。
変な制度ですね。