
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
以下の 表題を 読んだ、第三者の気持ちを、慮って、ご自身の胸に手を当てて、読み返してみてください。
至急 証明
・・・
という問題を解いてください。
以上
随分失礼ですよね。
これを読んだ信頼できない第3者は、あなたが、なんと返事をくれるかわかります。
まぁ ネチケットの問題です。あなたの倫理観に呼応して回答します。
An=an Bn=bn A=a B=bと置き換えます。数列{an},{bn}がそれぞれa,bに収束するものとして考えてみます。
1 背理法でやりましょう。
2 もし a>b と仮定すると。a-b>0ですからa-b>ε>0となるεが存在します。
3 an→a (n→∞) ですから (ε/2)>0に対して,ある自然数Nが存在して、n>Nとなる全ての
自然数に対して |an-a|<ε/2が成り立つ。すなわち a-ε/2<an<a+ε/2・・・①
4 {bn}についても同様に(ε/2)>0に対して,ある自然数Mが存在して、m>Mとなる全ての
自然数mについて |bm-b|<ε/2が成り立つ。すなわち b-ε/2<bm<b+ε/2・・・②
5 Max(N、M)=K と置けば3、4は次のように置き換えられる。
(ε/2)>0に対して,ある自然数Kが存在して、n>Kとなる全ての
自然数nに対して |an-a|<ε/2かつ |bn-b|<ε/2が成り立つ。書き換えれば
a-ε/2<an<a+ε/2かつ b-ε/2<bn<bn+ε/2 であるが an≦bnであるから
a-ε/2<an≦bn<b+ε/2
この不等式の左の項と右の項から
a-b<ε となって 2のa-b>εに矛盾します
よって a≦bです。
以下サービス
その一
f(x)=cosx-xと置いてf'(x)が[0,π/4]で負だからf(x)はこの定義域で単調減少関数
f(0)>0 f(π/4)<0 (π<3.142,√2>1.142からわかる)
よって f(x)=0となるxがただ一つある。
その二
ゲーム感覚で
y=cosx とy=xのグラフを書いてx=π/4の時にy=xのグラフがy=cosxのグラフより上にあることが目に入らぬかと、見せつければいい。

No.4
- 回答日時:
高校生なら「明らか」で押し通す.
大学の数学専攻なら, lim (B_n - A_n) = B - A を利用して, 背理法が簡単.
A > B と仮定すると, 自然数 N が存在して, n > N であるすべての n について B_n - A_n - (B - A) < A - B が成り立つが,
これより得られる B_n - A_n < 0 は, すべての n について A_n ≦ B_n であることと矛盾する.
No.2
- 回答日時:
なんとなく「そうなりそうだよなあ」とは思いますよね? そう思わなければ、どうしようもないです。
だったら、どう言えばそれが言えるか、を必死に考えましょう。
人生で、他人に自分の思いを伝えるとき、自分の言うことが正しいと説明するとき、同じようなことをする必要があります。そういう経験、まだないのですか?
「こう言って分からなければ、ああ言ってみる。言い方を変えてみる、何かに置き替えてみる」ということです。
問題の場合には、たとえば
Pn = A - An (1)
Qn = B - Bn (2)
とおけば
lim n→∞ Pn = 0 (3)
lim n→∞ Qn = 0 (4)
ということですよね。
ここで各 n に対して An ≦ Bn ならば、kn ≧ 1 となる kn を使って
Bn = kn*An (kn ≧ 1) (5)
と書けます。
(5)を(2)に代入して
Qn = B - kn*An ≦ B - An (6)
(kn≧1 なので、この不等式は常に成り立つ。なお(5)を(1)式に代入してもよい)
(6)の両辺の極限をとると、(4)より
0 ≦ B - A
つまり
B ≧ A
こんなのでどうかな?
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