至急証明

Question

lim n→∞ An=A
lim n→∞ Bn=B
において、各nに対してAn≦BnならばA≦Bを示せ。
という問題を解いてください！

think2nd · Accepted Answer

以下の　表題を　読んだ、第三者の気持ちを、慮って、ご自身の胸に手を当てて、読み返してみてください。

　　至急　証明
・・・
　　という問題を解いてください。
以上
　随分失礼ですよね。
　これを読んだ信頼できない第３者は、あなたが、なんと返事をくれるかわかります。
　まぁ　ネチケットの問題です。あなたの倫理観に呼応して回答します。

An=an　Bn=bn　A=a　B=bと置き換えます。数列{an},{bn}がそれぞれa,bに収束するものとして考えてみます。
　1　背理法でやりましょう。
　2　　もし　a>b　と仮定すると。a-b>0ですからa-b>ε>0となるεが存在します。
　3　an→a　(n→∞)　ですから　(ε/2)>0に対して,ある自然数Nが存在して、n>Nとなる全ての
自然数に対して　｜an-a｜<ε/2が成り立つ。すなわち　a-ε/2<an<a+ε/2・・・①
　4　{bn}についても同様に(ε/2)>0に対して,ある自然数Mが存在して、m>Mとなる全ての
　　自然数mについて　｜bm-b｜<ε/2が成り立つ。すなわち　b-ε/2<bm<b+ε/2・・・②
　5　Max(N、M)=K　と置けば3、4は次のように置き換えられる。
　　(ε/2)>0に対して,ある自然数Kが存在して、n>Kとなる全ての
自然数nに対して　｜an-a｜<ε/2かつ　｜bn-b｜<ε/2が成り立つ。書き換えれば
　a-ε/2<an<a+ε/2かつ　　b-ε/2<bn<bn+ε/2　であるが　an≦bnであるから　　　
　　　　a-ε/2<an≦bn<b+ε/2
　この不等式の左の項と右の項から
　　　a-b<ε　となって　2のa-b>εに矛盾します
　よって　a≦bです。

以下サービス
　その一
　　f(x)=cosx-xと置いてf'(x)が[0,π/4]で負だからf(x)はこの定義域で単調減少関数
　　f(0)>0　f(π/4)<0　(π<3.142,√2>1.142からわかる)
　よって　f(x)=0となるxがただ一つある。
　その二
　　　ゲーム感覚で
　　　y=cosx　とy=xのグラフを書いてx=π/4の時にy=xのグラフがy=cosxのグラフより上にあることが目に入らぬかと、見せつければいい。

クソgooは死ね · Answer

高校生なら「明らか」で押し通す.

大学の数学専攻なら, lim (B_n - A_n) = B - A を利用して, 背理法が簡単.
A > B と仮定すると, 自然数 N が存在して, n > N であるすべての n について B_n - A_n - (B - A) < A - B が成り立つが,
これより得られる B_n - A_n < 0 は, すべての n について A_n ≦ B_n であることと矛盾する.

yhr2 · Answer

なんとなく「そうなりそうだよなあ」とは思いますよね？　そう思わなければ、どうしようもないです。

だったら、どう言えばそれが言えるか、を必死に考えましょう。
人生で、他人に自分の思いを伝えるとき、自分の言うことが正しいと説明するとき、同じようなことをする必要があります。そういう経験、まだないのですか？

「こう言って分からなければ、ああ言ってみる。言い方を変えてみる、何かに置き替えてみる」ということです。

問題の場合には、たとえば
　Pn = A - An　　（１）
　Qn = B - Bn　　（２）
とおけば
　lim n→∞ Pn = 0　　（３）
　lim n→∞ Qn = 0　　（４）
ということですよね。

ここで各 n に対して An ≦ Bn ならば、kn ≧ 1 となる kn を使って
　Bn = kn*An　（kn ≧ 1）　（５）
と書けます。

（５）を（２）に代入して
　Qn = B - kn*An ≦ B - An　　（６）
（kn≧1 なので、この不等式は常に成り立つ。なお（５）を（１）式に代入してもよい）

（６）の両辺の極限をとると、（4）より
　0 ≦ B - A
つまり
　B ≧ A

こんなのでどうかな？

Tacosan · Answer

どこまでわかってどこで困っているのですか?

至急 証明

以下の 表題を 読んだ、第三者の気持ちを、慮って、ご自身の胸に手を当てて、読み返してみてください。

高校生なら「明らか」で押し通す.

なんとなく「そうなりそうだよなあ」とは思いますよね？ そう思わなければ、どうしようもないです。

どこまでわかってどこで困っているのですか?

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以下の　表題を　読んだ、第三者の気持ちを、慮って、ご自身の胸に手を当てて、読み返してみてください。

なんとなく「そうなりそうだよなあ」とは思いますよね？　そう思わなければ、どうしようもないです。