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lim n→∞ An=A
lim n→∞ Bn=B
において、各nに対してAn≦BnならばA≦Bを示せ。
という問題を解いてください!

A 回答 (4件)

以下の 表題を 読んだ、第三者の気持ちを、慮って、ご自身の胸に手を当てて、読み返してみてください。


  至急 証明
・・・
  という問題を解いてください。
以上
 随分失礼ですよね。
 これを読んだ信頼できない第3者は、あなたが、なんと返事をくれるかわかります。
 まぁ ネチケットの問題です。あなたの倫理観に呼応して回答します。

An=an Bn=bn A=a B=bと置き換えます。数列{an},{bn}がそれぞれa,bに収束するものとして考えてみます。
 1 背理法でやりましょう。
 2  もし a>b と仮定すると。a-b>0ですからa-b>ε>0となるεが存在します。
 3 an→a (n→∞) ですから (ε/2)>0に対して,ある自然数Nが存在して、n>Nとなる全ての
自然数に対して |an-a|<ε/2が成り立つ。すなわち a-ε/2<an<a+ε/2・・・①
 4 {bn}についても同様に(ε/2)>0に対して,ある自然数Mが存在して、m>Mとなる全ての
  自然数mについて |bm-b|<ε/2が成り立つ。すなわち b-ε/2<bm<b+ε/2・・・②
 5 Max(N、M)=K と置けば3、4は次のように置き換えられる。
  (ε/2)>0に対して,ある自然数Kが存在して、n>Kとなる全ての
自然数nに対して |an-a|<ε/2かつ |bn-b|<ε/2が成り立つ。書き換えれば
 a-ε/2<an<a+ε/2かつ  b-ε/2<bn<bn+ε/2 であるが an≦bnであるから   
    a-ε/2<an≦bn<b+ε/2
 この不等式の左の項と右の項から
   a-b<ε となって 2のa-b>εに矛盾します
 よって a≦bです。


以下サービス
 その一
  f(x)=cosx-xと置いてf'(x)が[0,π/4]で負だからf(x)はこの定義域で単調減少関数
  f(0)>0 f(π/4)<0 (π<3.142,√2>1.142からわかる)
 よって f(x)=0となるxがただ一つある。
 その二
   ゲーム感覚で
   y=cosx とy=xのグラフを書いてx=π/4の時にy=xのグラフがy=cosxのグラフより上にあることが目に入らぬかと、見せつければいい。
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この回答へのお礼

助かりました

ほんっとうにありがとうございます!
分かりやすくて助かりました!

お礼日時:2016/06/23 20:46

高校生なら「明らか」で押し通す.


大学の数学専攻なら, lim (B_n - A_n) = B - A を利用して, 背理法が簡単.
A > B と仮定すると, 自然数 N が存在して, n > N であるすべての n について B_n - A_n - (B - A) < A - B が成り立つが,
これより得られる B_n - A_n < 0 は, すべての n について A_n ≦ B_n であることと矛盾する.
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なんとなく「そうなりそうだよなあ」とは思いますよね? そう思わなければ、どうしようもないです。



だったら、どう言えばそれが言えるか、を必死に考えましょう。
人生で、他人に自分の思いを伝えるとき、自分の言うことが正しいと説明するとき、同じようなことをする必要があります。そういう経験、まだないのですか?

「こう言って分からなければ、ああ言ってみる。言い方を変えてみる、何かに置き替えてみる」ということです。

問題の場合には、たとえば
 Pn = A - An  (1)
 Qn = B - Bn  (2)
とおけば
 lim n→∞ Pn = 0  (3)
 lim n→∞ Qn = 0  (4)
ということですよね。

ここで各 n に対して An ≦ Bn ならば、kn ≧ 1 となる kn を使って
 Bn = kn*An (kn ≧ 1) (5)
と書けます。

(5)を(2)に代入して
 Qn = B - kn*An ≦ B - An  (6)
(kn≧1 なので、この不等式は常に成り立つ。なお(5)を(1)式に代入してもよい)

(6)の両辺の極限をとると、(4)より
 0 ≦ B - A
つまり
 B ≧ A

こんなのでどうかな?
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どこまでわかってどこで困っているのですか?

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この回答へのお礼

うーん・・・

まったくわからず、取っ掛かりもつかめず困っております。

お礼日時:2016/06/23 07:26

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