物理の近似についてです。

大学入試の問題なのですが、
aがbにくらべて十分小さいとき
1+a/b≒1と近似はできますか？
ある問題の解答でそのようになっていて疑問に思ったので質問させていただきました。

質問者からの補足コメント

• 質問が抽象的過ぎたので、問題を具体的に貼っておきたいと思います。
  分子運動論の問題の一部分です。
  図のように、立方体の形を保ったまま容器の３つの壁を、時間Δtの間、一定の速さuで動かして気体を膨張させる。このとき、容器の気密は一定に保たれている。uは気体分子の速さに比べて十分に小さいとする。Δtの間にこの分子がx方向に動いている壁との衝突によって失う運動エネルギーの大きさを、vx、m、V、ΔVを用いて表せ。ただし、ΔVはVに比べて十分小さいと考えて、ΔV/Vに比例する項のみを考える。このとき、分子が壁の間を往復するのに要する時間は、壁が固定されている場合と変わらないとせよ。
  ただし、uΔtはLに比べて十分小さいので、
  ΔV=(L+uΔt)^3-L^3=3L^2uΔtとする。
  というものです。画像は荒くて少し見にくいですがお願いしますm(_ _)m

  
    補足日時：2016/10/22 15:46

• ΔV/Vに比例する項のみを考えよ。という文意からなぜこのような近似になるのかがわからないのです…。たとえ近似を使わなくてもΔV/Vに比例する項にはなると思うのですが何故でしょうか？慣用する近似として覚えるしかないですか？m(_ _)m

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/10/22 20:29

No.4 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/22 20:17

この問題では、「ΔVはVに比べて十分小さいと考えて、ΔV/Vに比例する項のみを考えよ。

」と云う事でしょ。
全ての場合で、充分小さなものは無視して良い、と云うものでは無いと思います。

No.3 回答者： doc_somday 回答日時： 2016/10/22 18:19

別にそんなの描いても意味無いと思います。

その近似は日常茶飯事ですが、理論物理では通用しない、それだけ。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/22 14:48

＞aがbにくらべて十分小さいとき

「十分小さい」と云う言葉は他の数字と比較した言葉です。
従って比較された数字の精度によって答えは変わって来る筈です

一般的に、aが１でbが1万の場合を考えてみると、
これが整数単位の話の場合は、aがbにくらべて十分小さいと云えるでしょう。
しかし、ミクロ単位の世界では、十分小さいとは言えない場合があると思います。

つまり、そのようになっていたある問題は、 a/b≒0　と見做せる場合だったのでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/22 13:59

近似できることもあり、それを近似したら「得られる答の精度が確保できない」こともあり、いろいろです。

一般には、たとえば、aがbに比べて十分小さいとき
　1+a/b
の a/b は無視できないが、
　(1+a/b)² = 1 + 2(a/b) + (a/b)²
なので、 (a/b)² が a/b に比べて十分小さければ、（a/b = 1/100 なら (a/b)^2 = 1/10000）
　(1+a/b)² ≒ 1 + 2(a/b)
と近似できる、というように。

通常の近似は、「テイラー展開」という「永久に続く多項式」で表わしたときに、何次以上になれば無視できるか、というものを見ながら判断します。

↓　テイラー展開：これが「考え方」が分かりやすいです。
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/taylorexp …

その他：
http://eman-physics.net/math/taylor.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …