数学の問題です！ 教えてください… a,bが自然数で、a²+b²が4の倍数ならば、a,bはともに偶数

数学の問題です！
教えてください…

a,bが自然数で、a²+b²が4の倍数ならば、a,bはともに偶数であることを証明せよ。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2017/08/22 14:24

・a,b のどちらかが、偶数でない（奇数）場合は、a²,b² のどちらかが奇数になり、a²+b² も奇数になるから、４の倍数では無い。

・a,b 共に奇数の場合は、 a=2a'+1 , b=2b'+1 と置けるので、
　a²+b²=(2a'+1)²+(2b'+1)²=4(a'²+a'+b'²+b')+2 で偶数には成るが、４の倍数には成り得ない。
・a,b 共に偶数の場合は、a=2a' , b=2b' と置けるので、a²+b²＝4(a'²+b'²) で４の倍数になる。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/22 14:02

高校生なら、対偶も同値だと勉強した筈だから、対偶を証明すれば良い。

A→Bの対偶は、(not)B→(not)A。

「a,bはともに偶数」の否定は「どちらかが奇数または両方奇数」。
「a²+b²が4の倍数」の否定は「a²+b²が4の倍数で無い」

「A,Bどちらかが奇数または両方奇数」ならば「a²+b²は4の倍数で無い」を証明すれば元が証明された事になる

A,Bどちらかが奇数なら、対称形なのでAを奇数、Bを偶数とする。
A²は奇数、B²は偶数だからA²+B²は奇数、つまり4の倍数では無い

A,Bの両方とも奇数なら
A=2a+1、B=2B+1と書けるから
A²+B²=4a²+4a+1+4b²+4b+1=4(a²+a+b²+b)+2

A²+B²は4で割ると2余る数になり、4の倍数にはならない。

∴
「A,Bどちらかが奇数または両方奇数」ならば「a²+b²は4の倍数で無い」

これの対偶をとると
「a²+b²は4の倍数」ならば「A,Bは両方偶数」

No.1 回答者： zircon3 回答日時： 2017/08/22 13:22

自然数を前提に。

。。

まず、4（←偶数）の倍数という事は偶数。
次に、2つの数を足して偶数という事は両方とも偶数。偶数＋奇数＝奇数だから。
更に、2乗して偶数になるのは偶数。奇数の2乗（奇数×奇数または奇数を奇数回加算）は奇数だから。

よってa、bとも偶数。