整数問題

Question

3 以上 9999 以下の奇数 a で, a ²-a が、10000で割り切れるものをすべて求めよ .

syotao · Accepted Answer

問題を合同式で表わすと、10000＝2⁴5⁴だから
a(a-1)≡0（mod.2⁴5⁴）となるような奇数aを指定の範囲でもとめよ、
という問題に帰着する。

条件よりa(a-1)≡0（mod.2⁴）
かつ　　a(a-1)≡0（mod.5⁴）
aとa-1は互いに素なので同じ素因数を両方ともが持つことはできないから
a(a-1)≡0（mod.2⁴）からaかa-1のどちらかが2⁴でわりきれる。
つまりa≡0かa-1≡0（mod.2⁴）しかしaは奇数だからa-1≡0（mod.2⁴）
同じ理由でa(a-1)≡0（mod.5⁴）からa≡0かa-1≡0（mod.5⁴）
結局、
a≡1（mod.2⁴）、a≡0（mod.5⁴）･･･①　か
a≡1（mod.2⁴）、a≡1（mod.5⁴）･･･②　のいずれかの連立合同式
がなりたつ。5⁴－39×2⁴＝1　に注意すれば
①からa≡625（mod.10000）10000＝2⁴5⁴
②からa≡1（mod.10000）が出るから
①からa＝625＋10000ｔ、②からa＝10000ｓ＋1　ｔ、ｓ整数
となるが条件の範囲を満たすのはa＝625だけである。
実際a＝625は問題の条件を満たすから、これが解である。

mtrajcp · Answer

3≦a≦999…(1)
aは奇数
a^2-aが10000で割り切れるとすると
a^2-a=10000nとなる整数nがある
↓a^2-a=a(a-1)だから
a(a-1)=10000n
↓10000=(2^4)(5^4)だから
a(a-1)=(2^4)(5^4)n
左辺は2^4の倍数だから
右辺a(a-1)も2^4の倍数
aとa-1は互いに素で
aは奇数だからaは2の倍数でないから
a-1は2^4の倍数…(2)

a(a-1)=(2^4)(5^4)n
左辺は5^4の倍数だから
右辺a(a-1)も5^4の倍数

a-1が5の倍数と仮定すると
aとa-1は互いに素だから
aは5の倍数でないから
a-1は5^4の倍数
↓これと(2)から
a-1は(2^4)(5^4)=10000の倍数だから
a-1=10000mとなる整数mがある
↓両辺に1を加えると
a=10000m+1
↓これを(1)に代入すると
3≦10000m+1≦999
↓各辺から1を引くと
2≦10000m≦998
↓各辺を10000で割ると
2/10000≦m≦998/10000
mは整数だから
1≦m≦0
となって0<1に矛盾するから
a-1は5の倍数でないから
aは5^4=625の倍数だから
a=625kとなる整数kがある…(3)
↓これを(1)に代入すると
3≦625k≦999
↓各辺を625で割ると
3/625≦k≦999/625
↓kは整数だから
k=1
↓これを(3)に代入すると
∴
a=625

syotao · Answer

いやいや、
あなたの質問全部がぼくにわかるわけではないということですよ。
あなたを見捨てたわけじゃない笑。
うん、お互い体に気をつけて頑張ろう！

ありものがたり · Answer

←No.5 補足
それでは No.3 補足とはやってることが変わっている
ような気がする。

とりあえず、1行目の式が前の写真の (注1) の式とは
別のものになってしまっている。

ありものがたり · Answer

＞ 又 k は条件より[ 1,3,5,...,15 ]

その「条件」が問題のどの条件をどう処理したのかは、省略すべきでない。
a = 625k ≦ 9999 から k ≦ 15 が出たのだとは思うが、書かなければ判らない。

＞ k と l は互いに素であるが、 l = 1,2,... より
＞ 適する k は k = 1 となる。

この説明では、なぜ「適する k は k = 1 となる」のか
その理由が判らない。 書かれてないことは評価しようがない。

解法の中核だと思われる３行目から6行目にかけては、
何を言っているのか正直理解できない。 何を言っているの？

tknakamuri · Answer

>625と9376です。

訂正。奇数のみか・・・

ありものがたり · Answer

a = (5^4)n　(nは奇数),
a - 1 は (2^4) の倍数
となる所までは、No.1 のとおり。

最後の処理に修正が要る。
「n = 1 だけ」の理由を書かないと。
「16の倍数なので」だと、
勘違いしている可能性がある。

a -1 = (5^4)n - 1 = 625n - 1 = 16(39n) + (n - 1)
が 16 の倍数だから
n - 1 = 16k　(kは整数)
と置ける。よって
a = 625(16k+1) = 10000k + 625.

ここで a が「3 以上 9999 以下」という条件が効いて、
k = 0 に絞られる。 a = 625 (のみ).

tknakamuri · Answer

取りあえず、総当たりで解いてみた。
625と9376です。

よろしくです。。。。。 · Answer

！

整数問題

問題を合同式で表わすと、10000＝2⁴5⁴だから

3≦a≦999…(1)

いやいや、

←No.5 補足

＞ 又 k は条件より[ 1,3,5,...,15 ]

>625と9376です。

a = (5^4)n (nは奇数),

取りあえず、総当たりで解いてみた。

！

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＞又 k は条件より[ 1,3,5,...,15 ]

a = (5^4)n　(nは奇数),