ポアンカレ予想について・・・

ポアンカレ予想とは、つまりどのようなことなんですか？
わかりやすく教えてください！
（中学生なので・・・）

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/03/11 21:19

「基本群が自明になる三次元コンパクト多様体は三次元球面のみ」

ってのが，きちんと書いた文章．

これを激しく簡略化すると，

・出発点に杭をさし，紐を引っかける
・紐をたらしながら好き勝手に旅行する（紐の長さは無限大とする）
・最後に出発点に戻ってくる
・どんな旅行をしても紐を引っ張るとすべて手繰り寄せることができる
（どこかに引っかからない）
この条件が成り立つとき，
旅行している場所は球面上である

というような内容．

たとえば，ドーナツのように穴が開いてるものの
表面からなる世界に住んでるとすると，
穴をぐるっと回って戻ってくるような旅行をしたら，
紐は手繰り寄せられない（穴に引っかかる）のです．
もちろんドーナツの表面は球面とは異なるものです．

これを逆手にとって，紐が必ず手繰り寄せられるんだったら
もともと世界は球面なんだというようなお話です．

これが面白いのは，
三次元のケースだけ解けずに残っていたということで，
四次元の奇妙さの一例になっているということ
（三次元の図形は四次元に埋もれていると考える）．
数学の世界（というか，もうちょっと位相幾何というべきか）では
なぜか「四次元だけわからん」ということが
時々あるんです．
ほかにも今回の証明が，今まで考えられていた方針とは異なる
予想外の方向から出てきたということもあるようです．
こういう予想外の方向から出てきたものは今後の発展が
期待されるわけです．