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閉集合上で定義された連続関数について
この命題の最後らへんのところはf(x0)はGの集積点であるってことですよね?しかしf(xn)≠f(x0)という保証はあるのでしょうか?

「閉集合上で定義された連続関数について こ」の質問画像

A 回答 (6件)

その証明でやろうとしていることは


x₀∊F と f(x₀)∊D です。そしてまちがえてはいけないのは
f(x)のx₀での連続性は必ずしもf(xn)≠f(x₀)を保証しないということです。
しかしそれでもよいのです。というのはもしある番号kについてf(xk)=f(x₀)ならばf(xk)∊Dなので
f(x₀)∊Dは当然成立ちます。
そしてどの番号nについてもf(xn)≠f(x₀)ならばf(x)のx₀での連続性より
f(x₀)はDの集積点になるのでDが閉集合の条件よりf(x₀)∊D が出てくるのです。
くりかえしますが、この証明において
f(x)のx₀での連続性は、どの番号nについてもf(xn)≠f(x₀)のときに
f(x₀)がDの集積点であることを保証しているだけです。
なお定数関数はりっぱな連続関数なのでおまちがえないように。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
f(xn)=f(x0)とf(xn)≠f(x0)を場合分けして考えても、どちらともf(x0)∈Gが成り立っているということですか?

お礼日時:2018/04/17 21:10

No.3です。



<f(xn)=f(x0)とf(xn)≠f(x0)を場合分けして考えても、どちらともf(x0)∈Gが成り立っているということですか?>
そうです。いずれにしてもf(x0)∈Gはなりたつのです。
f(xn)=f(x0)となるxnがあるときは f(xn)∊Gなのでf(x0)∈G
すべてのnについてf(xn)≠f(x0)のときはf(x)の連続性によりf(x0)はGの集積点なのでf(x0)∊Gです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
おかげで理解できました。

お礼日時:2018/04/20 22:14

>しかしf(xn)≠f(x0)という保証はあるのでしょうか?



この保証は質問で述べられている証明では不要と思いますが、
この必要性のあなたの根拠は何ですか?

関係無いけど、定数関数は連続です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
最後のf(x0)∈Gというのはf(x0)はGの集積点であるから、だと思ったのですが

お礼日時:2018/04/17 21:27

ごめんなさい。

No.3のDはGのあやまりです。
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定数関数は、例えば f(x)=4のことです。

任意のf(xo)は常に4です。ですから、
任意のf(xo)は4以外ないので、4の近傍に存在するf(xn)はありません
(f(xo)=f(xn))。
これらのことから定数関数は連続ではありません。
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f(xn)≠f(x0)という保証は最初のf(x)を閉集合Fで定義されて連続関数とする、の連続関数であるからです。


f(x)が連続関数と言うことは任意のf(xo)の近傍にf(xn)≠f(x0)なるf(xn)が常に存在するという意味です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
定数関数は連続関数にはならないのでしょうか?

お礼日時:2018/04/17 10:41

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