閉集合上で定義された連続関数について この命題の最後らへんのところはf(x0)はGの集積点であるって

閉集合上で定義された連続関数について
この命題の最後らへんのところはf(x0)はGの集積点であるってことですよね？しかしf(xn)≠f(x0)という保証はあるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/17 16:14

その証明でやろうとしていることは

ｘ₀∊F　と　f(ｘ₀)∊D　です。そしてまちがえてはいけないのは
f(ｘ)のｘ₀での連続性は必ずしもf(xn)≠f(x₀)を保証しないということです。
しかしそれでもよいのです。というのはもしある番号ｋについてf(xk)＝f(x₀)ならばf(xk)∊Dなので
f(ｘ₀)∊Dは当然成立ちます。
そしてどの番号ｎについてもf(xn)≠f(x₀)ならばf(ｘ)のｘ₀での連続性より
f(x₀)はDの集積点になるのでDが閉集合の条件よりf(x₀)∊D　が出てくるのです。
くりかえしますが、この証明において
f(ｘ)のｘ₀での連続性は、どの番号ｎについてもf(xn)≠f(x₀)のときに
f(x₀)がDの集積点であることを保証しているだけです。
なお定数関数はりっぱな連続関数なのでおまちがえないように。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
f(xn)=f(x0)とf(xn)≠f(x0)を場合分けして考えても、どちらともf(x0)∈Gが成り立っているということですか？

お礼日時：2018/04/17 21:10

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/17 22:07

No.3です。

＜f(xn)=f(x0)とf(xn)≠f(x0)を場合分けして考えても、どちらともf(x0)∈Gが成り立っているということですか？＞
そうです。いずれにしてもf(x0)∈Gはなりたつのです。
f(xn)=f(x0)となるxnがあるときは f(xn)∊Gなのでf(x0)∈G
すべてのｎについてf(xn)≠f(x0)のときはf(x)の連続性によりf(x0)はGの集積点なのでf(x0)∊Gです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
おかげで理解できました。

お礼日時：2018/04/20 22:14

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/17 20:37

>しかしf(xn)≠f(x0)という保証はあるのでしょうか？

この保証は質問で述べられている証明では不要と思いますが、
この必要性のあなたの根拠は何ですか？

関係無いけど、定数関数は連続です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
最後のf(x0)∈Gというのはf(x0)はGの集積点であるから、だと思ったのですが

お礼日時：2018/04/17 21:27

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/17 16:18

ごめんなさい。

No.3のDはGのあやまりです。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/17 11:09

定数関数は、例えば　f(x)=4のことです。

任意のｆ（ｘo)は常に４です。ですから、
任意のｆ（ｘo)は４以外ないので、４の近傍に存在するｆ（xn)はありません
（ｆ（ｘo)＝ｆ（xn)）。
これらのことから定数関数は連続ではありません。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/17 07:55

f(xn)≠f(x0)という保証は最初のｆ（ｘ）を閉集合Ｆで定義されて連続関数とする、の連続関数であるからです。

ｆ（ｘ）が連続関数と言うことは任意のｆ（ｘo)の近傍にf(xn)≠f(x0)なるf(xn)が常に存在するという意味です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
定数関数は連続関数にはならないのでしょうか？

お礼日時：2018/04/17 10:41